Skript - Prof. Georg Hoever - FH Aachen

2. Weiterführende Begriffe 25
2. Seien X 1 , X 2 und X 3 drei unabhängige Bernoulli-Zufallsvariablen, die jeweils die
Werte 0 und 1 mit der Wahrscheinlichkeit 1 2
annehmen. Aus diesen Zufallsvariablen
werden zwei neue Zufallsvariablen gemacht:
Y := X 1 +X 2 und Z := X 1 +X 3 .
Y und Z sind nicht unabhängig, denn es ist
P(Y = 2) = P(X 1 = 1 und X 2 = 1)
= P(X 1 = 1)·P(X 2 = 1)
= 1 2 · 1
2 = 1 4 ,
entsprechend auch P(Z = 2) = 1 4 , aber
P(Y = 2 und Z = 2) = P(X 1 = 1 und X 2 = 1 und X 3 = 1)
= P(X 1 = 1)·P(X 2 = 1)·P(X 3 = 1)
= 1 2 · 1
2 · 1
2 = 1 8
≠ 1 16 = 1 4 · 1 = P(Y = 2)·P(Z = 2).
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Bemerkung:
Oft treten Folgen (X i ) i∈N von Zufallsvariablen auf.
Sind die einzelnen Zufallsvariablen X i identisch verteilt und unabhängig voneinander
so spricht man auch von einer iid-Folge (independent and identically distributed).
Beispiel 7:
1. Wiederholtes Würfeln kann man als Folge X i von Zufallsvariablen auffassen.
Dabei ist X i unabhängig von X i−1 .
2. Bei der Bitübertragung kann man ein gesendetes Bit als b = ±1 interpretieren,
das bei der Übertragung zu b + x gestört wird, wobei x normalverteilt um 0
ist. Die Störungen x 1 ,x 2 ,... aufeinander folgender Bits kann man als Folge
von Zufallsvariablen X i betrachten. In der Regel sind die X i nicht unabhängig,
denn wenn zum Zeitpunkt i der Kanal stark gestört wird, ist es wahrscheinlich,
dass er auch zur Zeit i − 1 oder i + 1 gestört wird. Man nimmt oft dennoch
Unabhängigkeit an (AWGN-Kanal: additive white gaussian noise), was in der
Praxis durch Interleaving erreicht wird, d.h. eigentlich codierungsmäßig zusammengehörige
Bits werden zu auseinanderliegenden Zeiten gesendet.