Skript - Prof. Georg Hoever - FH Aachen

2. Weiterführende Begriffe 30
und wegen V(X) = 1 und
V(Y) = V(a·X +b·Z)
= V(a·X)+V(b·Z)
= a 2 ·V(X)+b 2 ·V(Z)
= a 2 ·1+b 2 ·1 = a 2 +b 2
ist
ρ X,Y =
a
√
a 2 +b 2.
Beispielsweise ist
Bemerkung:
bei a = 0: ρ X,Y = 0,
{
bei b = 0: ρ X,Y = a
|a| = 1, falls a > 0,
−1, falls a < 0,
bei a = 1, b = 1: ρ X,Y = 1 √
2
≈ 0.7,
bei a = 1, b = 2: ρ X,Y = 1 √
5
≈ 0.48.
Die Kovarianz bzw. der Korrelationskoeffizient beschreiben die Stärke des Zusammenhangs
zweier Zufallsvariablen. Es gilt:
Sind X und Y unabhängig, so ist C(X,Y) = 0 = ρ X,Y ,
{
1, falls a > 0,
Ist Y = a·X, so ist ρ X,Y =
−1, falls a < 0.
Allerdings folgt aus C(X,Y) = 0 nicht notwendigerweise, dass X und Y unabhängig
im Sinne von Definition 2.4 sind.