Skript - Prof. Georg Hoever - FH Aachen

3. Statistik 35
Kennt man die Art der Verteilung, aber nicht den Wert / die Werte der Parameter, kann
man Mittelwert, Varianz oder ähnliches zur Parameterschätzung nutzen.
Satz 3.2
Bei immer größer werdendem Stichprobenumfang zu einer Zufallsvariablen X gilt:
Bemerkung:
1. Der Stichproben-Mittelwert konvergiert in gewissem Sinn gegen E(X).
2. Die Stichproben-Varianz konvergiert in gewissem Sinn gegen V(X).
Hat man eine diskrete Zufallsvariable mit den möglichen Ereignissen x 1 ,...,x N
und kennt deren wahre Wahrscheinlichkeiten p(x k ), so berechnet sich der Erwartungswert
E(X) durch E(X) = N x k ·p(x k ). Dabei bezeichnet N die Anzahl
∑
der
k=1
möglichen Ereignisse und jedes Ereignis kommt in der Summe nur ein Mal vor.
n∑
Bei der Berechnung eines Stichproben-Mittelwerts x = 1 n
x k bezeichnet n die
Anzahl der Stichproben. Unter den x k können nun auch Wiederholungen auftreten.
Beispiel 2:
Eine Zufallsvariable X nehme die Werte 1, 2 oder 4 an mit den Wahrscheinlichkeiten
P(X = 1) = 0.2, P(X = 2) = 0.5 und P(X = 4) = 0.3. Dann
ist
E(X) = 1·0.2+2·0.5+4·0.3 = 2.4.
Eine Stichprobe könnte beispielsweise folgende zehn Werte liefern:
1, 4, 2, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4.
Der Stichproben-Mittelwert ist dann
k=1
x = 1 10 ·(1+4+2+2+1+2+4+1+2+4 ) = 2.3.
2. Der Faktor
1
n−1 (statt des vielleicht erwarteten 1 n ) bei der Definition von s2 verhindert
eine Unterschätzung der Varianz, denn der Mittelwert x passt sich der
Stichprobe an, so dass die bei der Definition betrachteten quadratischen Abstände
im Mittel kleiner als die Abstände zum wahren Erwartungswert E(X) sind.
Bei Kenntnis von E(X) ist 1 n
∑ n
k=1 (x k − E(X)) 2 ein Schätzer, der gegen V(X)
konvergiert.