Skript - Prof. Georg Hoever - FH Aachen

3. Statistik 50
Bemerkungen:
1. Statt einen Akzeptanzbereich für den Mittelwert, also für die Testgröße X n , zu
bestimmen, kann man auch die Testgröße
X ∗ n =
∑ n
k=1 X k −nµ
√ nσ
nutzen, die standardnormalverteilt ist (s. Seite 31).
Damit erhält man direkt den Akzeptanzbereich
|X ∗ n| ≤ x 1−
α
2 .
n·(1 ∑ n
n k=1
= X k −µ )
√ = √ n· Xn −µ
nσ σ
2. Bei einem einseitigen Test kann man die ganze Irrtumswahrscheinlichkeit α auf eine
Seite nehmen und einen entsprechenden einseitigen Test mit x 1−α machen.
2. Erwartungswerte bei Normalverteilungen mit unbekannter Standardabweichung
Ziel:
Bestimmung eines Akzeptanzbereichs zum Test der Hypothese ”
Erwartungswert =
µ“ bei einer normalverteilten Zufallsvariable mit unbekannter Standardabweichung
auf Basis von n Beobachtungen X 1 ,...,X n .
Wie bei den Konfidenzbereichen kann man mit dem Schätzwert
S n = √ 1 n∑
(x k −x n )
n−1
2
die Testgröße
k=1
̂X n = √ n· Xn −µ
S n
(mit X n = 1 n
n∑
X k )
k=1
bilden,diet-verteiltmitn−1Freiheitsgradenist.ZurBestimmungderAkzeptanzgrenzen
verwendet man dann die Quantile t m,p zur t-Verteilung (s. Anhang C).
Bei Vorgabe eines Signifikanzniveaus 1−α hat man den Akzeptanzbereich
| ̂X n | ≤ t n−1,1−
α
2 .
Beispiel 2 (Fortsetzung von Beispiel 1):
Bei unbekanntem σ erhält man mit den Werten aus Beispiel 1 S n = 0.49g und man
hat
̂x n = √ 10· xn −100g
0.49g
≈ −1.87