Skript - Prof. Georg Hoever - FH Aachen

1. Grundlagen 15
Satz 1.7
Ist F die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen X, so gilt
Beispiel 2:
P(X ∈]a,b]) = F(b)−F(a).
1. Sei X exponentialverteilt mit λ = 1 2
. Dann ist
P(X ∈ [1,3]) = F(3)−F(1)
(Vgl. Beispiel 3 in Abschnitt 1.2.)
2. Die Verteilungsfunktion zur
Standardnormalverteilung ist
Φ(x) = √ 1 ∫x
2π
= (1− e −3 2 )−(1− e
− 1 2 ) = e
− 1 2 − e
− 3 2 ≈ 0.38.
−∞
e −t2 2 dt.
1
-3 -2 -1 0 1 2 3
Ist X standard-normalverteilt, so ist P(x ∈ [a,b]) = Φ(b)−Φ(a) (vgl. Satz 1.4).
Satz 1.8
Für eine Verteilungsfunktion F gilt lim F(x) = 0 und lim F(x) = 1.
x→−∞ x→∞
Definition 1.9
Das p-Quantil x p (p ∈]0,1[) zu einer Zufallsvariablen X ist der kleinste Wert x
mit P(X ≤ x) ≥ p.
Bemerkungen:
1. Mit der Verteilungsfunktion F kann man genauso sagen: Das p-Quantil ist der
kleinste Wert x mit F(x) ≥ p.
2. Bei einer stetigen Zufallsvariablen ist F stetig; jeder Wert zwischen 0 und 1 wird
dann angenommen, so dass gilt: Das p-Quantil ist der kleinste Wert x mit F(x) = p.
Bei einer diskreten Zufallsvariablen muss das nicht so sein.
Beispiel 3:
Ist X gleichverteilt auf {1,2,3,4,5,6}, so
ist x 1/3 = x 0.3 = 2, denn es ist F(2) =
1
3 ≥ 0.3 und für x < 2 gilt F(x) < 1 3 und
auch F(x) < 0.3.
1
1 2 3 4 5 6
3. Die Quantil-Funktion ist quasi die Umkehrfunktion zur Verteilungsfunktion: