Skript - Prof. Georg Hoever - FH Aachen

3. Statistik 51
Das ( 1− 0.05 )
2 -Quantil zur t-Verteilung mit 9 Freiheitsgraden ist
c = t 9,0.975 = 2.262.
Wegen |̂x n | < c ist die Hypothese µ = 100 zum Signifikanzniveau 0.95 also verträglich
mit der Beobachtung.
Bei einem Signifikanzniveau von nur 0.9, also α = 0.1, erhält man
t 9,1−
α
2
= t 9,0.95 ≈ 1.83,
so dass man bei diesem Signifikanzniveau die Hypothese ablehnen muss.
Bemerkung:
Auch hier sind natürlich einseitige Tests mit t n−1,1−α möglich.
Beispiel 3 (Fortsetzung von Beispiel 1 und 2):
Verbraucherschützerinteressiertnur,obdieSchokoladentafelnsignifikantweniger
als 100g wiegen. Die Hypothese ist dann µ ≥ 100, die Alternative µ < 100.
Der Ablehnungsbereich ist einseitig: Bei zu geringem Durchnittsgewicht wird
die Hypothese signifikant abgelehnt, also bei
̂X n < −t n−1,1−α .
α
−t n−1,1−α
Zum Signifikanzniveau 0.95 ergibt sich das entsprechende Quantil t 9,0.95 =
1.833.
Wegen ̂x n = −1.87 wird die Hypothese µ ≥ 100 zum Signifikanzniveau 95%
abgelehnt; man kann also begründet sagen, dass die Schokoladen zu leicht sind.
3. Erfolgswahrscheinlichkeiten bei Bernoulli-Experimenten
Ziel:
Bestimmung eines Akzeptanzbereichs zum Test der Hypothese ”
Erfolgswahrscheinlichkeit
= p“ bei einem Bernoulli-Experiment auf Basis von n Durchführungen.
Unter der Hypothese ”
Erfolgswahrscheinlichkeit = p“ ist die Anzahl der Erfolge bei n
Durchführungen binomial-verteilt. Bei dieser Verteilung kann man die unwahrscheinlichen
Randbereiche abschneiden.
Beispiel 4:
Betrachtet werden 15 Durchführungen eines Bernoulliexperiments mit der Hypothese
p = 0.4.
Will man einen Akzeptanzbereich zum Signifikanzniveau 0.9 bestimmen, kann man
für die Anzahl der Erfolge an beiden Seiten des Wahrscheinlichkeits-Histogramms
eine Wahrscheinlichkeit von 0.05 streichen: