Skript - Prof. Georg Hoever - FH Aachen

2. Weiterführende Begriffe 31
2.4. Zentraler Grenzwertsatz
Was passiert bei der Überlagerung vieler gleichartiger zufälliger Effekte?
Sei Z n = X 1 +···+X n , wobei die X k unabhängige Zufallsvariablen mit einheitlichem
Erwartungswert µ = E(X k ) und einheitlicher Varianz σ 2 = V(X k ) sind. Dann gilt nach
Satz 2.6:
E(Z n ) = E(X 1 +···+X n )
= E(X 1 )+···+E(X n )
= µ+···+µ
= n·µ
und V(Z n ) = V(X 1 +···+X n )
= V(X 1 )+···+V(X n )
= σ 2 +···+σ 2
= n·σ 2 .
Die verschobene Zufallsvariable Z n −nµ hat den Erwartungswert 0 und die Varianz n·σ 2 .
Die normalisierte Zufallsvariable Xn ∗ = √ 1
nσ
(Z n −nµ) hat dann den Erwartungswert 0
und die Varianz 1.
Satz 2.9 (Zentraler Grenzwertsatz)
Sind X 1 ,X 2 ,... unabhängige identisch verteilte Zufallsvariablen mit einheitlichem
Erwartungswert µ = E(X k ) und einheitlicher Varianz σ 2 = V(X k ), so konvergiert
die Zufallsvariable
X ∗ n =
∑ n
k=1 X k −nµ
√ nσ
gegen die Standardnormalverteilung, d.h. für x ∈ R gilt lim
n→∞ P(X∗ n ≤ x) = Φ(x).
Bemerkungen:
1. Der Satz gilt auch unter deutlich schwächeren Bedingungen. Insbesondere brauchen
die X i nicht alle die gleiche Verteilung zu besitzen, sondern es reicht, dass große
Werte gleichmäßig selten vorkommen.
2. Vereinfacht besagt der Satz: Die Summe unabhängiger zufälliger Einflüsse ist ungefähr
normalverteilt.
Dies findet beispielsweise in der Messtechnik seine Anwendung: Gemessen wird der
wahre Wert“, überlagert mit vielen zufälligen Störeinflüssen. Eine Messung kann
”
man daher betrachten als Realisierung einer Zufallsvariablen, die normalverteilt um
den wahren Wert“ ist. ”