Skript - Prof. Georg Hoever - FH Aachen

1. Grundlagen 13
1.3. Zufallsvariablen
Definition 1.5
Beschreibt X ∈ R das Ergebnis eines Zufallsexperiments, so nennt man X auch
Zufallsvariable. Ein konkretes Ergebnis nennt man Realisierung. Kann X nur endlich
oder abzählbar viele Werte annehmen, so heißt X diskrete Zufallsvariable,
ansonsten stetige Zufallsvariable.
Beispiel 1:
Die Summe der Augen bei einem Wurf mit 2 Würfeln ist eine diskrete Zufallsvariable.
Entsprechend der auftretenden Wahrscheinlichkeiten sagt man z.B. ”
X ist exponentialverteilt
mit Parameter λ = 3“ oder ”
X ist auf M gleichverteilt“.
Beispiel 2:
Sei X standardnormalverteilt (also µ = 0 und σ = 1). Dann ist P(X ∈ [−1,1]) ≈
0.683 (vgl. die Bemerkung Seite 12).
Bemerkung:
Mit Zufallsvariablen kann man auch rechnen; z.B. ist mit X auch 2·X eine Zufallsvariable
und mit X 1 und X 2 ist auch X 1 +X 2 eine Zufallsvariable.
Speziell gilt:
1. Ist X standardnormalverteilt, so ist Y = σ·X+µ eine (µ,σ 2 )-normalverteilte
Zufallsvariable.
2. Sind die Zufallsvariablen X 1 ,...,X n bernoulli-verteilt, also P(X i = 1) = p
und P(X i = 0) = 1−p, und voneinander unabhängig (zur genauen Definition
∑
s. Abschnitt 2.1), so ist X = n X i binomialverteilt.
i=1
Dies ist klar, denn das Ereignis ”
X = k“ kommt genau dann zustande, wenn
k der X i gleich Eins sind.
3. Sind X 1 und X 2 unabhängig und normalverteilt mit Erwartungswert µ 1 bzw.
µ 2 und Varianz σ1 2 bzw. σ2 2 , so ist X 1+X 2 normalverteilt mit Erwartungswert
µ 1 +µ 2 und Varianz σ1 2 +σ2 2 (s. auch Satz 2.6).