Skript - Prof. Georg Hoever - FH Aachen

3. Statistik 42
3.3. Konfidenzbereiche
3.3.1. Grundlagen
Situation:
Im vorigen Abschnitt wurden sogenannte Punktschätzer betrachtet, z.B. war bei einer
n-fachen Realisierung eines Bernoulli-Experiments, bei der k Erfolge beobachtet
wurden, der Wert t = k n
ein Schätzer für die Erfolgswahrscheinlichkeit p.
Beispiel 1:
Bei einer Stichprobe von n = 100 Teilen sind k = 10 Teile defekt. Damit ist
die Wahrscheinlichkeit defekter Teile ungefähr 0.1.
Der wahre Wert des Parameters wird aber von dem geschätzten Wert abweichen.
Kann man für den Parameter verlässliche Grenzen angeben?
Statt eines Wertes soll nun ein Intervall geschätzt werden, das den wahren Parameter
mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit bzw. bis auf eine Irrtumswahrscheinlichkeit
α überdeckt.
Definition 3.5
X besitze eine Verteilung mit einem unbekannten Parameter ϑ ∈ R.
Ein Konfidenzbereich I mit Irrtumswahrscheinlichkeit α zu einer Stichprobe
x = (x 1 ,...,x n ) ist ein Bereich I(x) = I(x 1 ,...,x n ) ⊂ R, so dass für jedes ϑ gilt
P ϑ
(
ϑ ∈ I(x)
)
≥ 1−α
(α klein).
1−α heißt Konfidenzniveau.
Bemerkung:
1. Der Parameter ϑ hängt nicht vom Zufall ab, sondern der Bereich I(x 1 ,...,x n ).
DaswesentlichebeimKonfidenzbereichistdiefestgelegteFunktionsvorschriftI(...).
Die Stichprobenergebnisse x i hängen vom Zufall ab, so dass der resultierende Bereich
I(x 1 ,...,x n ) vom Zufall abhängt.
Dieser zufällige Bereich soll – egal welchen Wert ϑ hat – den wahren Parameter in
den meisten Fällen (genauer: mit Wahrscheinlichkeit 1−α) überdecken.
Die Schreibweise P ϑ (...) verdeutlicht dies; gemeint ist die Wahrscheinlichkeit, die
sich beim Parameterwert ϑ ergibt.
2. Übliche Werte für die Irrtumswahrscheinlichkeit sind α = 0.1, α = 0.05 oder α =
0.01.