Skript - Prof. Georg Hoever - FH Aachen

3. Statistik 46
3.3.3. Konfidenzbereiche für Bernoulli-Experimente
Man kann ähnliche Überlegungen auch zur Bestimmung von Konfidenzbereichen zu
Bernoulli-Experimenten nutzen:
Sind X 1 ,X 2 ,... unabhängig und Bernoulli-verteilt mit Erfolgswahrscheinlichkeit p ( also
E(X) = p und V(X) = p(1−p) ) , so ist nach dem zentralen Grenzwertsatz (Satz 2.9)
∑ n
Xn ∗ i=1
:=
X i −n·p k −np
√ = √
n·p(1−p) np(1−p)
(mit k=Anzahl der Erfolge) für große n ungefähr standardnormalverteilt, also
P ( −x 1−
α ≤ X ∗ )
2 n ≤ x 1−
α
2
≈ 1−α.
Löst man hier den Bereich nach p auf, erhält man einen Konfidenzbereich für p:
Satz 3.8
Einen (approximativen) Konfidenzbereich zum Konfidenzniveau 1−α für die Erfolgswahrscheinlichkeit
p bei einem Bernoulli-Experiment erhält man bei n Versuchen
mit k Erfolgen durch p ∈ [p 1 ,p 2 ] mit
p 1,2 =
1
c 2 +n ·
(
k + c2 2 ±c·√ k(n−k)
n
)
+ c2
4
mit c = x 1−
α , dem 1− α 2 2-Quantil zur Standardnormalverteilung.
(Zur Anwendung der Formel sollte n ≥ 20 und k n
nicht zu nahe bei 0 oder 1 sein.)
Bemerkung:
Für große n und k (k ≥ 50 und n−k ≥ 50) kann man die Grenzen weiter approximieren
durch
(
p 1,2 = 1 √ )
k(n−k)
n · k ±c· = k n n ± √ c k
(
·√
n n · 1− k )
.
n
Beispiel 1:
Eine Wahlumfrage ergibt eine Prognose von 40% für Partei A. Befragt wurden 1000
Wähler. Wie groß ist der Konfidenzbereich zu einem Niveau 1−α = 0.95?
Mit x 1−
α
2 = x 0.975 = 1.96, n = 1000 und k = 400 ergibt sich als Konfidenzbereich
[0.370; 0.431].
Bemerkung:
Man kann auch hier an nur einseitigen Konfidenzbereichen interessiert sein, z.B.
die Fehlerrate p ist kleiner 1%“. Ähnlich wie oben kann man dann einseitige Begrenzungen
mit dem 1−α-Quantil x 1−α
”
nutzen.