Skript - Prof. Georg Hoever - FH Aachen

3. Statistik 55
3.4.4. χ 2 -Verteilung und χ 2 -Tests
Die χ 2 -Verteilung (lies ”
Chiquadrat“) mit m Freiheitsgraden entsteht als Summe der
Quadrate von m standardnormalverteilten Zufallsvariablen:
Definition 3.10
Sind X 1 ,...,X m unabhängige standardnormalverteilte Zufallsvariablen, so heißt
∑
die Verteilung von m Xk 2 χ2 -Verteilung mit m Freiheitsgraden
k=1
Die χ 2 -Verteilung χ 2 m mit m Freiheitsgraden besitzt die Dichte
f m (x) = c m ·x m 2 −1 · e −x 2 für x > 0
mit einer Normierungskonstanten c m und f(x) = 0 für x ≤ 0.
f 6 (x)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Für Erwartungswert und Varianz gilt
E(χ 2 m) = m und V(χ 2 m) = 2m.
Die p-Quantile χ 2 p,m zur χ 2 -Verteilung mit m Freiheitsgraden sind zu einigen p-Werten
in Anhang D aufgelistet.
Anwendungen:
1. Die Verteilung der Stichprobenvarianz
s 2 1
n∑
:= (x k −x) 2
n−1
k=1
ist eng verwandt mit der χ 2 -Verteilung:
Sind die zugrunde liegenden Zufallsprozesse normalverteilt mit Varianz σ 2 , so ist
n−1·s 2 genau wie χ 2 σ 2 n−1 verteilt. (Bei anderen Zufallsprozessen erhält man aufgrund
des zentralen Grenzwertsatzes eine entsprechende approximative Verteilung.)
Damit gilt mit der Wahrscheinlichkeit 1−α:
χ 2 n−1
α
,n−1 ≤
2
⇔ σ 2 ≤ n−1
χ 2 ·s 2 und
α
2 ,n−1
⇔
σ 2 ∈
[
n−1
χ 2 1− α 2 ,n−1 ·s 2 ;
σ 2 ·s 2 ≤ χ 2 1− α 2 ,n−1
n−1
χ 2 1− α 2 ,n−1 ·s 2 ≤ σ 2
]
n−1
·s 2 .
2 ,n−1
χ 2 α