Skript - Prof. Georg Hoever - FH Aachen

5. Warteschlangen 68
5.3. Eigenschaften von Warteschlangen
Satz 5.3
Betrachtet wird ein Poisson-verteilter Ankunfts- und Bedienprozess mit Ankunftsrate
α und Bedienrate β. Ist α < β, so konvergiert
P n (t) = P(Zur Zeit t sind n Kunden im System)
gegen
P n =
( α
β
) n
·(
1− α )
.
β
Bemerkung:
Die Wahrscheinlichkeiten entsprechen denen einer geometrischen Verteilung (Variante
2 in Anhang E) mit Parameter p = 1− α β .
Beispiel 1:
An der Kasse eines Ladens werden ca. 25 Kunden pro Stunde bedient. Die durchschnittliche
Bediendauer ist 2 Minuten. Also ist α = 25 (pro Stunde), β = 30 (pro
Stunde) und bei einer M/M/1-Modellierung ist
P n =
( ) 25 n (
1− 25 )
30 30
=
( 5
6
) n
· 1
6 .
Wie viel Prozent ihrer Arbeitszeit ist die Kassiererin unbeschäftigt?
P 0 =
( 5
6
) 0
· 1
6 ≈ 0.1667
⇒ in ca. 17% der Zeit ist kein Kunde an der Kasse.
Bemerkungen:
1. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Bedienstation arbeitslos ist, ist P 0 = 1− α β , daher
bezeichnet man α β
auch als Auslastung.
Dies ist auch intuitiv verständlich: N Kunden kommen ungefähr in einer Zeit N· 1
die Bedienung dauert ungefähr N · 1
N/β
β
, so dass sich als Auslastung
N/α = α β ergibt.
2. Als mittlere Anzahl Personen im System ergibt sich durch den Erwartungswert 1−p
p
der geometrischen Verteilung mit p = 1− α β :
α ,
mittlere Anzahl Personen = 1−p
p
= 1−(1− α β )
1− α β
=
α
β −α .
5.3. Eigenschaften von Warteschlangen