Skript - Prof. Georg Hoever - FH Aachen
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5. Warteschlangen 69<br />
3. ManchmalinteressiertmansichfürdieSchlangenlänge,alsodieAnzahlderPersonen<br />
abzüglich der gerade in Bedienung befindlichen Person. Es gilt<br />
mittlere Schlangenlänge =<br />
α 2<br />
β(β −α) .<br />
Beispiel 2 (Fortsetzung von Beispiel 1):<br />
Die Anzahl Personen im System ist<br />
25<br />
30−25 = 5.<br />
Bemerkung (Warteschlange als Markov-Kette):<br />
Die Anzahl der Personen im System kann man als Markov-Kette mit den möglichen<br />
Zuständen 0,1,2,... betrachten. Die (unendliche) Übergangsmatrix wird beschrieben<br />
durch<br />
nach\von 0 1 2 3 ...<br />
0 1−α∆t β∆t 0 0 ...<br />
1 α∆t 1−(α+β)∆t β∆t 0 ...<br />
2 0 α∆t 1−(α+β)∆t β∆t ...<br />
3 0 0 α∆t 1−(α+β)∆t<br />
. ..<br />
4 . . .<br />
. .. . ..<br />
Als (unendlichen) Eigenvektor zum Eigenwert 1 hat man<br />
⎛<br />
( α β)(<br />
( 2 (<br />
⎜ α<br />
⎝ β)<br />
1− α β<br />
1− α β<br />
.<br />
1− α β<br />
⎞<br />
)<br />
)<br />
.<br />
⎟<br />
⎠<br />
Satz 5.4<br />
Bei einer FIFO-Warteschlange mit Poisson-verteilten Ankunfts- und Bedienprozessen<br />
mit Raten α bzw. β sind die Aufenthaltszeiten exponentialverteilt mit Parameter<br />
λ = β −α.<br />
Bemerkung:<br />
Die mittlere Aufenthaltsdauer ist also 1 λ = 1<br />
β−α .<br />
Beispiel 3 (Fortsetzung von Beispiel 1):<br />
Die mittlere Aufenthaltsdauer ist<br />
1<br />
30−25 = 1 5<br />
(in Stunden), also 12 Minuten.<br />
5.3. Eigenschaften von Warteschlangen
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