Skript - Prof. Georg Hoever - FH Aachen

Anhang 71
A. Binomialkoeffizient
Erinnerung: n! = 1·2······n (n-Fakultät), insbesondere 0! = 1 = 1!.
Definition A.1
Für n,k ∈ N 0 , n ≥ k heißt
( n
k)
=
k∏
j=1
n−j +1
j
=
n·(n−1)·...·(n−k +1)
1·2·...·k
=
n!
k!(n−k)!
Binomialkoeffizient, gelesen ”
n über k“.
Beispiel 1:
( 7
3)
= 7·6·5
1·2·3 = 7!
3!·4!
= 35.
Satz A.2
( ( ) n n
1. Für alle n,k ∈ N 0 , n ≥ k gilt = .
k)
n−k
( ( ) ( )
n n−1 n−1
2. Für alle n,k ∈ N, n > k gilt = + .
k)
k −1 k
Die Binomialkoeffizienten kann man sich gut in Form des sog. Pascalschen Dreiecks
herleiten. Das Dreieck hat am Rand lauter Einsen. Innen ergeben sich die Zahlen durch
die Summe der beiden darüber liegenden Werte. Dies entspricht dem Bildungsgesetz 2.
aus Satz A.2.
n
k
0
0
1
2
3
4
5
...
1 1
1 1 2
1 2 1 3
1 3 3 1 4
1 4 6 4 1 5
1 5 10 10 5 1
...
Satz 1.3 (Binomialsatz)
Für alle n ∈ N, a,b ∈ R gilt (a+b) n =
n∑
k=0
( n
k)
a n−k ·b k .
A. Binomialkoeffizient