Skript - Prof. Georg Hoever - FH Aachen

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2. Weiterführende Begriffe 27 Dann ist E(X) = 1·0.2+2·0.5+4·0.3 = 2.4, V(X) = (1−2.4) 2 ·0.2+(2−2.4) 2 ·0.5+(4−2.4) 2 ·0.3 = 1.24. Die Standardabweichung ist dann √ V(X) = √ 1.24 ≈ 1.11. 2. Zu einer Bernoulli-Zufallsvariable X mit den Werten 1, 0 und P(X = 1) = p, also P(X = 0) = 1−p, ist E(X) = 1·p+0·(1−p) = p, V(X) = (1−p) 2 ·p+(0−p) 2 ·(1−p) = (1−p)·p·((1−p)+p ) = (1−p)·p. 3. Ist X gleichverteilt auf [a,b], so ist E(X) = ∫ b a 1 x· b−a dx = 1 b−a · 1 ∣ ∣∣ b 2 x2 = 1 a 2 · b2 −a 2 b−a = 1 2 (a+b). 4. Ist X (µ,σ 2 )-normalverteilt, so ist E(X) = µ und V(X) = σ 2 . 5. In Anhang E sind Erwartungswerte und Varianzen der verschiedenen Verteilungen aufgeführt. Satz 2.6 Für Zufallsvariablen X, Y und a,b ∈ R gilt: Bemerkung: 1. V(X) = E ( (X −E(X)) 2) = E(X 2 )−(E(X)) 2 . 2. E(aX +b) = a·E(X)+b, V(aX +b) = a 2 ·V(X). 3. E(X +Y) = E(X)+E(Y). 4. Sind X und Y unabhängig, so gilt 4.1 V(X +Y) = V(X)+V(Y), 4.2 E(X ·Y) = E(X)·E(Y). Der Erwartungswert gibt den Schwerpunkt an von • Gewichten p(x k ), die an den Stellen x k positioniert sind (bei einer diskreten Zufallsvariablen), • der Wahrscheinlichkeitsdichte (bei einer stetigen Zufallsvariablen).
2. Weiterführende Begriffe 28 Beispiel 3: 1. Bei den Werten aus Beispiel 2.1 ergibt sich bildlich mit Erwartungswert 2.4 und Standardabweichung 1.11: 0.5 ±1.11 1 2 3 4 2.4 2. Bei einer Exponentialverteilung mit λ = 0.5 ist der Erwartungswert gleich 2.0 und auch die Standardabweichung gleich 2.0. ±2.0 1 2 3 4 5 2.0
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Seite 5 und 6: 1. Grundlagen 2 Durchführung von V
Seite 7 und 8: 1. Grundlagen 4 zweiter Wurf erster
Seite 9 und 10: 1. Grundlagen 6 Bemerkung (Binomial
Seite 11 und 12: 1. Grundlagen 8 1.2. Wahrscheinlich
Seite 13 und 14: 1. Grundlagen 10 3. Normalverteilun
Seite 15 und 16: 1. Grundlagen 12 Entsprechend der T
Seite 17 und 18: 1. Grundlagen 14 1.4. Verteilungsfu
Seite 19 und 20: 1. Grundlagen 16 1 p F(x) 1 F(x) p
Seite 21 und 22: 1. Grundlagen 18 Beispiel 2: Ist X
Seite 23 und 24: 2. Weiterführende Begriffe 20 2. W
Seite 25 und 26: 2. Weiterführende Begriffe 22 2. E
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Seite 29: 2. Weiterführende Begriffe 26 2.2.
Seite 33 und 34: 2. Weiterführende Begriffe 30 und
Seite 35 und 36: 2. Weiterführende Begriffe 32 3. M
Seite 37 und 38: 3. Statistik 34 3. Statistik 3.1. G
Seite 39 und 40: 3. Statistik 36 Beispiel 3: 1. Eine
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