Skript - Prof. Georg Hoever - FH Aachen

3. Statistik 34
3. Statistik
3.1. Grundlagen
Oft hat man Situationen, in denen man die Parameter der zugrunde liegenden Verteilung
nicht kennt. Man kann dann Beobachtungen machen.
Definition 3.1
Zu einer Stichprobe bestehend aus n Beobachtungen x 1 ,...,x n ∈ R heißt
1. x := 1 n∑
x k Mittelwert der Stichprobe,
n
2. s 2 :=
k=1
1
n−1
n∑
(x k −x) 2 Varianz der Stichprobe,
k=1
3. s = √ s 2 Standardabweichung der Stichprobe.
Bemerkungen:
1. Die Standardabweichung ist ein Maß für die Streuung der Werte. Die Varianz hat
keine anschauliche Bedeutung. Mit ihr lässt sich aber besser rechnen.
2. DurchelementareUmformungenerhältmanalsalternativeDarstellungderVarianz:
s 2 1
n∑
= x 2 k −
n ( ) 2. x
n−1 n−1
k=1
Diese Formel ist nützlich, wenn sukzessive neue Beobachtungen hinzukommen.
Beispiel 1:
Bei Biegeversuchen wird getestet, nach wie vielen Hin- und Herbiegungen ein Material
bricht. Man erhält folgende Zahlen: 100, 118, 97, 104, 112, 99, 109, 108, 103,
101.
Der Mittelwert ist x = 1 10
(100 + 118 + 97 + ··· + 101) = 105.1. Für die Varianz
ergibt sich s 2 = 43.2 und damit die Standardabweichung s = 6.6.
x±s
Bemerkung:
• • • • • • • • • •
90 95 100 105 110 115 120
Manchmal betrachtet man auch den Median; das ist der Wert, so dass 50% der
Stichprobenwerte unterhalb und 50% oberhalb liegen.
In Beispiel 1 liegt der Median zwischen 103 und 104.
Der Median ist unempfindlich gegenüber Ausreißern.