Skript - Prof. Georg Hoever - FH Aachen

3. Statistik 37
3.2. Schätzer
Situation:
Ziel:
Man kennt die Verteilungsart einer Zufallsvariablen X, nicht aber den konkreten
Parameter ϑ ( ”
theta“).
Aufgrund von n Beobachtungen x 1 ,...,x n schätzt man den Parameter durch eine
Funktion T(x 1 ,...,x n ).
Da die x k Realisierungen von Zufallsvariablen X k sind, ist T selbst eine Zufallsvariable:
T = T(X 1 ,...,X n ).
Beispiel 1:
1. Der Mittelwert einer Stichprobe, T(x 1 ,...,x n ) = 1 n ·
Erwartungswert E(X).
n∑
x k , ist ein Schätzer für den
2. Ist X ein Bernoulli-Experiment mit Erfolgswahrscheinlichkeit p, also
k=1
P(X = 1) = p,
P(X = 0) = 1−p,
so ist E(X) = p, also T aus 1. ein Schätzer für den Parameter p.
Beispiel 2:
Die 8-fache Wiederholung eines Bernoulli-Experiments ergab
(x 1 ,...,x n ) = (0,1,0,0,1,0,1,0),
also 3 Erfolge und 5 Misserfolge. Damit ist
Bemerkung:
T(0,1,0,0,1,0,1,0) = 1 8 ·3 = 3 8
ein Schätzer für p.
Formal kann man die Stichproben als unabhängige Zufallsvariablen X k und
T = T(X 1 ,...,X n )alsZufallsvariablebetrachten.DieobigeRealisierungergab
dann 3 8
als Realisierung von T.
DerParameterϑist(durchdieWirklichkeit)festgelegt,dieErgebnissedesSchätzers
sind Zufallswerte.