Skript - Prof. Georg Hoever - FH Aachen

4. Stochastische Prozesse und Markov-Ketten 63
Mit elementaren Zeilenoperationen (mit gedachter rechter Seite gleich Null) erhält
man
⎛ ⎞
−0.4 0.3 0.2
alles ·10,
P −I = ⎝ 0.3 −0.6 0.3 ⎠
tausche I und III
0.1 0.3 −0.5
⎛ ⎞
1 3 −5
→⎝
3 −6 3 ⎠ −3·I
−4 3 2 +4·I
⎛ ⎞
1 3 −5
→⎝0 −15 18 ⎠ +1 5 ·II
0 15 −18 +II
⎛
1 0 − 7 ⎞
5
→⎝0 1 − 6 ⎠
5
0 0 0
Eigenvektoren sind also λ·
)
, der eine Wahrscheinlichkeitsverteilung
beschreibt.
Bemerkung:
( 7
5
6
5
1
). Bei λ = 5 18 erhält man ̂x = ( 7
18
6
18
5
18
Häufig ist die stationäre Verteilung eindeutig und kann durch P n·x 0 , ausgehend von
einer beliebigen Anfangsverteilung x 0 berechnet werden (z.B. wenn alle Einträge in
P positiv sind).
Beispiel 11:
1
1 2
1
ist eine Markovkette mit Übergangsmatrix P = ( 0 1
1 0)
. Die
stationäre Verteilung ist ̂x = ( 0.5)
, aber für x0 = ( )
1
0
gilt
nicht P n n→∞ ·x 0 −→ ̂x.
1
1
2
1 ist eine Markovkette mit Übergangsmatrix P = ( 1 0
0 1)
. Jede
Wahrscheinlichkeitsverteilung ist dann eine stationäre Verteilung.