Skript - Prof. Georg Hoever - FH Aachen

3. Statistik 38
Definition 3.3
Ein Schätzer T für einen Parameter ϑ heißt erwartungstreu
Bemerkung:
:⇔ der Erwartungswert von T ist ϑ.
1. Erwartungstreue bedeutet anschaulich, dass bei wiederholten Stichproben der Mittelwert
der Schätzwerte gegen den entsprechenden Parameter konvergiert.
2. Sind X 1 ,X 2 ,...,X n unabhängig und verteilt wie X so gilt für den Erwartungswert
des Schätzers T(X 1 ,...,X n ) = 1 n ·
n∑
X k :
E ( T(X 1 ,...,X n ) ) = E ( 1
n
Satz 2.6
= 1 n ·
= 1 n ·
k=1
n∑ )
X k
k=1
n∑
E(X k )
k=1
n∑
E(X)
k=1
= 1 n ·(n·E(X) )
= E(X),
d.h. T ist ein erwartungstreuer Schätzer für E(X).
3. Man kann zeigen, dass die Schätzer
und
T 1 (x 1 ,...,x n ) =
T 2 (x 1 ,...,x n ) = 1 n
1
n−1
n∑
(x k −x) 2
k=1
n∑
(x k −E(X)) 2
k=1
erwartungstreu für V(X) sind.
Beispiel 3:
1. Die Busse der ASEAG sind durchnummeriert. Sie fahren drei Mal und nutzen dabei
die Busse Nr. 37, 78 und 56. Wieviel Busse hat die ASEAG?
Das Beispiel kann folgendermaßen modelliert werden: Man zieht n mal aus einer
Urne mit von 1 bis N durchnummerierten Kugeln. Auf Grundlage der Beobachtungen
x 1 ,...,x n soll ein Schätzer für den unbekannten Parameter N gebildet werden.
(Dieses Problem ist auch als Taxiproblem bekannt.)