Skript - Prof. Georg Hoever - FH Aachen

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3. Statistik 41 Eine Maximierung dieser Funktion bzgl. µ ist äquivalent zur Minimierung von ∑ g(µ) = n (x i −µ) 2 . Es ist i=1 ⇔ g ′ (µ) = n∑ −2(x i −µ) i=1 n∑ x i = n·µ i=1 ⇔ µ = 1 n Also ist ¯x = 1 n n∑ x i . i=1 ! = 0 n∑ x i Maximum-Likelihood-Schätzer für µ. i=1
3. Statistik 42 3.3. Konfidenzbereiche 3.3.1. Grundlagen Situation: Im vorigen Abschnitt wurden sogenannte Punktschätzer betrachtet, z.B. war bei einer n-fachen Realisierung eines Bernoulli-Experiments, bei der k Erfolge beobachtet wurden, der Wert t = k n ein Schätzer für die Erfolgswahrscheinlichkeit p. Beispiel 1: Bei einer Stichprobe von n = 100 Teilen sind k = 10 Teile defekt. Damit ist die Wahrscheinlichkeit defekter Teile ungefähr 0.1. Der wahre Wert des Parameters wird aber von dem geschätzten Wert abweichen. Kann man für den Parameter verlässliche Grenzen angeben? Statt eines Wertes soll nun ein Intervall geschätzt werden, das den wahren Parameter mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit bzw. bis auf eine Irrtumswahrscheinlichkeit α überdeckt. Definition 3.5 X besitze eine Verteilung mit einem unbekannten Parameter ϑ ∈ R. Ein Konfidenzbereich I mit Irrtumswahrscheinlichkeit α zu einer Stichprobe x = (x 1 ,...,x n ) ist ein Bereich I(x) = I(x 1 ,...,x n ) ⊂ R, so dass für jedes ϑ gilt P ϑ ( ϑ ∈ I(x) ) ≥ 1−α (α klein). 1−α heißt Konfidenzniveau. Bemerkung: 1. Der Parameter ϑ hängt nicht vom Zufall ab, sondern der Bereich I(x 1 ,...,x n ). DaswesentlichebeimKonfidenzbereichistdiefestgelegteFunktionsvorschriftI(...). Die Stichprobenergebnisse x i hängen vom Zufall ab, so dass der resultierende Bereich I(x 1 ,...,x n ) vom Zufall abhängt. Dieser zufällige Bereich soll – egal welchen Wert ϑ hat – den wahren Parameter in den meisten Fällen (genauer: mit Wahrscheinlichkeit 1−α) überdecken. Die Schreibweise P ϑ (...) verdeutlicht dies; gemeint ist die Wahrscheinlichkeit, die sich beim Parameterwert ϑ ergibt. 2. Übliche Werte für die Irrtumswahrscheinlichkeit sind α = 0.1, α = 0.05 oder α = 0.01.
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Seite 5 und 6: 1. Grundlagen 2 Durchführung von V
Seite 7 und 8: 1. Grundlagen 4 zweiter Wurf erster
Seite 9 und 10: 1. Grundlagen 6 Bemerkung (Binomial
Seite 11 und 12: 1. Grundlagen 8 1.2. Wahrscheinlich
Seite 13 und 14: 1. Grundlagen 10 3. Normalverteilun
Seite 15 und 16: 1. Grundlagen 12 Entsprechend der T
Seite 17 und 18: 1. Grundlagen 14 1.4. Verteilungsfu
Seite 19 und 20: 1. Grundlagen 16 1 p F(x) 1 F(x) p
Seite 21 und 22: 1. Grundlagen 18 Beispiel 2: Ist X
Seite 23 und 24: 2. Weiterführende Begriffe 20 2. W
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Seite 27 und 28: 2. Weiterführende Begriffe 24 Die
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Seite 31 und 32: 2. Weiterführende Begriffe 28 Beis
Seite 33 und 34: 2. Weiterführende Begriffe 30 und
Seite 35 und 36: 2. Weiterführende Begriffe 32 3. M
Seite 37 und 38: 3. Statistik 34 3. Statistik 3.1. G
Seite 39 und 40: 3. Statistik 36 Beispiel 3: 1. Eine
Seite 41 und 42: 3. Statistik 38 Definition 3.3 Ein
Seite 43: 3. Statistik 40 Definition 3.4 Ein
Seite 47 und 48: 3. Statistik 44 Satz 3.6 Ist X norm
Seite 49 und 50: 3. Statistik 46 3.3.3. Konfidenzber
Seite 51 und 52: 3. Statistik 48 Hypothese beibehalt
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Seite 55 und 56: 3. Statistik 52 Wahrscheinlichkeit
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Seite 59 und 60: 3. Statistik 56 DamithatmaneinKonfi
Seite 61 und 62: 3. Statistik 58 3.4.5. Der p-Wert S
Seite 63 und 64: 4. Stochastische Prozesse und Marko
Seite 65 und 66: 4. Stochastische Prozesse und Marko
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Seite 69 und 70: 5. Warteschlangen 66 5.2. Die Poiss
Seite 71 und 72: 5. Warteschlangen 68 5.3. Eigenscha
Seite 73 und 74: 5. Warteschlangen 70 Bemerkung: Man
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Seite 79 und 80: Anhang 76 E. Übersicht: Verteilung
Seite 81 und 82: Anhang 78 E.2. Stetige Verteilungen
Seite 83: Index 80 Poisson-Verteilung .......

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