Математика, уџбеник са збирком задатака за први разред гимназије, Klett

Логика и скупови
Дисјункција два исказа p и q је исказ „p или q” који се означава pq.
Дисјункција pq је тачна ако је бар један од исказа p, q тачан, а нетачна је ако
су оба исказа p, q нетачна.
Пример 2.
τ(2 + 3 = 52 ≤ 3) = ⊤ τ(2 < 33 < 2) = ⊤ τ(3 > 52 < 5) = ⊤ τ(1 < 02 < 0) = ⊥
Конјункција два исказа p и q је исказ „p и q” који се означава pq. Конјункција
pq је тачна ако су оба исказа p, q тачна, а нетачна је ако је бар један од исказа
p, q нетачан.
Пример 3.
τ(2 + 3 = 52 ≤ 3) = ⊤ τ(2 < 33 < 2) = ⊥ τ(3 > 52 < 5) = ⊥ τ(1 < 02 < 0) = ⊥
Негација исказа p је исказ „није p” који се означава ¬p. Негација ¬p је тачна
ако је исказ p нетачан, а нетачна је ако је исказ p тачан.
Пример 4.
τ(¬3 > 5) = ⊤
τ(¬2 < 4) = ⊥
Логичка операција која по значају заузима централно место у математици јесте
импликација. Огроман је број математичких тврђења која су формулисана у
облику ако p, онда q. Исказе овог облика означавамо p q. У говорном језику они
се исказују и на један од следећих начина:
p имплицира q, p повлачи q,
из p следи q, q је последица претпоставке p,
p је довољан услов за q, q је потребан услов за p.
дефиниција
τ(p) τ(q) τ(pq)
⊤ ⊤ ⊤
⊤ ⊥ ⊤
⊥ ⊤ ⊤
⊥ ⊥ ⊥
дефиниција
τ(p) τ(q) τ(pq)
⊤ ⊤ ⊤
⊤ ⊥ ⊥
⊥ ⊤ ⊥
⊥ ⊥ ⊥
дефиниција
τ(p)
⊤
⊥
τ(¬p)
⊥
⊤
p је довољан услов за q
p q
q је потребан услов за p
Пример 5.
Претпоставимо да су нечији родитељи изјавили:
Ако ове школске године будеш имао све петице, купићемо ти рачунар.
Ова изјава је облика p q, где је p исказ ти ћеш ове школске године имати све
петице, а q исказ ми ћемо ти купити рачунар. Када сматрамо да родитељи говоре
истину? Ако ученик има све петице и родитељи му купе рачунар, тј. ако су оба
исказа тачна, дата изјава родитеља је, свакако, тачна.
Ако ученик има све петице, а родитељи му не купе рачунар, онда су, најблаже
речено, родитељи лагали. Дакле, ако је p тачно, а q нетачно, онда је p q нетачно.
Ако ученик нема све петице, а родитељи му купе рачунар, онда родитеље сигурно
нећемо сматрати лажовима. Дакле, ако је p нетачно, а q тачно, онда p q сматрамо
тачном изјавом.
Најзад, претпоставимо да ученик нема све петице и родитељи му нису купили
рачунар. Пошто ученик није испунио своју обавезу, обавезе су ослобођени и
родитељи. И у овом случају дату изјаву сматрамо тачном.
⊤ ⊤
Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући
фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу
са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.
11