Математика, уџбеник са збирком задатака за први разред гимназије, Klett

А
НЗД – највећи
заједнички делилац
НЗС – најмањи
заједнички садржалац
НЗД и НЗС полинома
Истакнимо најпре два једноставна запажања у вези са релацијом дељивости
полинома.
1. Ако је полином A(x) дељив полиномом D(x), онда је A(x) дељив и полиномима
αD(x), за произвољан реалан број α различит од нуле. (Погледај другу
напомену на маргини.)
2. Нека је A(x) полином степена n > 1. Једини делиоци полинома A(x) који су
степена n јесу полиноми αA(x), за произвољан реалан број α различит од нуле.
дефиниција
Полином D је заједнички делилац полинома A и B ако су и A и B дељиви са D.
Полином S је заједнички садржалац полинома A и B ако је S дељив
и са A и са B.
A(x) D(x) количник
x 2 – 1 = (x – 1) ∙ (x + 1)
A(x) 2 ∙ D(x)
x 2 – 1 = (2x – 2) ∙
∙ D(x)
A(x)
x 2 – 1 = 1 3 x – 1 3
количник
1
2 x + 1 2
количник
∙ (3x + 3)
Пример 1.
Нека је A(x) = x 3 – x и B(x) = x 4 – 1. Није тешко проверити да је један заједнички
делилац полинома A(x) и B(x) полином D(x) = x 2 – 1:
A(x) D(x) A(x) D(x)
x 3 – x = (x 2 – 1) ∙ x и x 4 – 1 = (x 2 – 1) ∙ (x 2 + 1)
Имају ли полиноми A(x) и B(x) и других заједничких делилаца?
Очигледно је да су сви делиоци полинома D(x) = x 2 – 1 такође заједнички делиоци
полинома A(x) и B(x). Како су x – 1 и x + 1 делиоци полинома D(x), они су и
заједнички делиоци полинома A(x) и B(x):
x 3 – x = (x – 1) ∙ (x 2 + x) и x 4 – 1 = (x – 1) ∙ (x 3 + x 2 + x + 1),
x 3 – x = (x + 1) ∙ (x 2 – x) и x 4 – 1 = (x + 1) ∙ (x 3 – x 2 + x – 1).
Није тешко закључити да су
α, αx – α, αx + α, αx 2 – α, α R \ {0}
сви делиоци датих полинома A(x) и B(x). Приметимо да иако заједничких
делилаца датих полинома има бесконачно много, постоје само четири различита
типа делилаца: константе, два типа делилаца првог реда и један тип делилаца
другог реда.
Иако за највећи заједнички делилац полинома A(x) и B(x) можемо узети било који
делилац максималног степена – у овом случају степена два, уобичајено је да се
узме онај чији је водећи коефицијент једнак јединици. Дакле,
НЗД(x 3 – x, x 4 – 1) = x 2 – 1.
Приметимо да је највећи заједнички делилац полинома A(x) и B(x) дељив свим
осталим заједничким делиоцима ова два полинома.
202
Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући
фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу
са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.