Математика, уџбеник са збирком задатака за први разред гимназије, Klett

3
2
1 57648 9
Oсобине операција
са реалним
бројевима и поретка
међу њима
У овој књизи не можемо говорити о томе како се дефинишу основне операције са
реалним бројевима (које схватамо као бесконачне, периодичне и непериодичне,
децималне бројеве). За сада ћемо прихватити као чињеницу да се поменуте
операције могу коректно дефинисати тако да важе сва важна својства операција
која смо до сада користили.
Инверз броја у
односу на сабирање
је број супротан том
броју. Инверз броја
различитог од нуле у
односу на множење је
реципрочна вредност
тог броја. Уопште,
применом операције
на неки број и
његов инверз
добијамо неутрални
елемент те операције.
Ако је x ≠ 0,
инверзни елемент
елемента x у
односу на множење,
означава се и x –1 .
За произвољне реалне бројеве x, y, z важе следеће особине:
(К +) x + y = y + x [комутативност сабирања]
(А +) (x + y) + z = x + (y + z) [асоцијативност сабирања]
(Н +) x + 0 = x [0 је неутрал за сабирање]
(И +) x + (–x) = 0 [сваки број има инверз у односу на
сабирање]
(К ∙ ) x ∙ y = y ∙ x [комутативност множења]
(А ∙ ) (x ∙ y) ∙ z = x ∙ (y ∙ z) [асоцијативност множења]
(Н ∙ ) x ∙ 1 = x [1 је неутрал за множење]
(И ∙ ) ако је x ≠ 0, онда је x ∙ 1 x
= 1 [сваки број различит од нуле има
инверз у односу на множење]
(Д) x ∙ (y + z) = x ∙ y + x ∙ z [дистрибутивност множења према
сабирању]
(Р) x ≤ x [рефлексивност поретка]
(АС) ако је x ≤ y и y ≤ x, онда је x = y
[антисиметричност поретка]
(Т) ако је x ≤ y и y ≤ z, онда је x ≤ z [транзитивност поретка]
(Л) x ≤ y или y ≤ x [линеарност поретка]
(П +) ако је x ≤ y, онда је x + z ≤ y + z [сагласност поретка са сабирањем]
(П ∙ ) ако је x ≤ y и 0 ≤ z, онда је x ∙ z ≤ y ∙ z [сагласност поретка са множењем]
Поред наведених својстава, скуп реалних бројева карактерише и следећа особина
(позната као аксиома комплетности) коју ћемо овом приликом само навести, док
ћемо јој у наредним разредима посветити посебну пажњу.
аксиома комплетности
Ако је S непразан подскуп скупа реалних бројева такав да постоји реалан број
од кога су мањи сви елементи скупа S, онда постоји и најмањи реалан број s
такав да је x ≤ s за свако x S.
70
Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући
фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу
са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.