Математика, уџбеник са збирком задатака за први разред гимназије, Klett

8
1
2 57648 9
Иако се димензије (величине) два слична објекта могу доста разликовати, оно што
им даје исти облик јесу сачуване размере између било које две дужи.
Када треба направити било који велики објекат (зграду, мост, аутомобил итд.),
веома је корисно прво конструисати умањен модел тог објекта који му је сличан у
математичком смислу. Наравно, да би модел имао исти облик, као што ће га имати
изграђени објекат, довољно је „сачувати” размере.
Ако су два троугла слична, онда један од тих троуглова изгледа као умањена,
односно увећана верзија другог. Углови једног троугла једнаки су угловима другог
троугла, а парови одговарајућих страница су пропорционални. Притом, страница
једног троугла одговара страници другог ако се налазе наспрам истих углова,
односно ако на сваку од њих належу исти углови.
AB = c A
A
1
B 1
= c 1
= kc
c b
BC = a · k B 1
C 1
= a 1
= ka
b 1
A 1
B
a
CA = b
C
c 1
a 1
C 1
A 1
= b 1
= kb
B 1
C 1
Као и у случају подударности, доказивање сличности троуглова знатно олакшавају
ставови сличности које ћемо у наставку доказати.
Први став сличности
Два троугла су слична ако су две странице једног троугла пропорционалне
двема страницама другог троугла и углови захваћени тим страницама су
подударни.
AB : AC = A’B’ : A’C’
CAB ≅ C’A’B’
∆ABC ∼ ∆A’B’C’
Доказ. Нека су ABC и A’B’C’ троуглови такви да је
A’B’ : AB = A’C’ : AC = k и CAB ≅ C’A’B’.
Нека је H A, k
(B) = B 1
и H A, k
(C) = C 1
. Другим речима, на
полуправама AB и AC, одредимо тачке B 1
и C 1
такве да је
AB 1
= kAB и AC 1
= kAC и AC 1
≅ A’C’. Дакле,
H A, k
(∆ABC) = ∆AB 1
C 1
.
Према ставу подударности СУС, ∆AB 1
C 1
≅ ∆A’B’C’. Самим тим, постоји
изометрија I таква да је I(∆AB 1
C 1
) = ∆A’B’C’. Дакле, I H A, k
(∆ABC) = ∆A’B’C’.
Како је I H A, k
трансформација сличности, закључујемо да је ∆ABC ∼ ∆A’B’C’. ■
230
Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући
фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу
са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.