Математика, уџбеник са збирком задатака за први разред гимназије, Klett

Логика и скупови
Пример 8.
Типичан пример примене таутологије
(p r)(q r) (pq r)
представља доказ тврђења да је за сваки природан број n производ n(n + 1) паран
број.
Нека је
p: n je паран број,
q: n је непаран број,
r: n(n + 1) је паран број.
Није тешко доказати импликације p r (ако је n паран број, онда је n(n + 1)
паран број) и q r (ако је n непаран број, онда је n(n + 1) паран број). На основу
наведене таутологије добијамо да
из n је паран број или n је непаран број следи да је n(n + 1) паран број,
односно, да је за сваки природан број n производ n(n + 1) паран број.
Закон набрајања
(p r)(q r)
(pq r)
Пример 9.
За свака два реална броја x и y тачне су еквиваленције
x ∙ y = 0 x = 0y = 0
и
x 2 + y 2 = 0 x = 0y = 0.
На основу таутологија
(p q) (¬p ¬q),
¬(pq) ¬p¬q
и
¬(pq) ¬p¬q
закључујемо да су тачне и следеће еквиваленције
x ∙ y ≠ 0 x ≠ 0y ≠ 0
и
x 2 + y 2 ≠ 0 x ≠ 0y ≠ 0.
Заиста имамо да је
(x ∙ y = 0 x = 0y = 0)
(¬x ∙ y = 0 ¬(x = 0y = 0))
(x ∙ y ≠ 0 ¬x = 0¬y = 0)
(x ∙ y ≠ 0 x ≠ 0y ≠ 0),
и
(x 2 + y 2 = 0 x = 0y = 0)
(¬x 2 + y 2 = 0 ¬(x = 0y = 0))
(x 2 + y 2 ≠ 0 ¬x = 0¬y = 0)
(x 2 + y 2 ≠ 0 x ≠ 0y ≠ 0).
Овакво записивање еквиваленција у низу, односно, формирање такозваног ланца
еквиваленција, дозвољено је на основу таутологије
(p q)(q r) (p r).
Прецизније, према овој таутологији закључујемо да уколико су еквивалентне
сваке две суседне формуле у ланцу еквиваленција, онда су еквивалентне и прва и
последња формула у том ланцу.
Де Морганови закони
¬(pq) ¬p¬q
¬(pq) ¬p¬q
Tранзитивност
еквиваленције
(p q)(q r)
(p r)
p q q r
p r
Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући
фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу
са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.
19