Математика, уџбеник са збирком задатака за први разред гимназије, Klett

В
Ако су странице једног троугла подударне страницама другог троугла, онда су
та два троугла подударна.
Трећи став подударности
или став УСУ
Доказ. Нека је AB ≅ A 1
B 1
, BC ≅ B 1
C 1
и CA ≅ C 1
A 1
. Довољно је доказати
CAB ≅ C 1
A 1
B 1
, јер ће из подударности ових углова и претпостављене
подударности страница који га захватају, према ставу СУС, следити
∆ABC ≅ ∆A 1
B 1
C 1
.
У полуравни коју одређује права A 1
B 1
и која не садржи C 1
(према аксиомама о
преношењу углова и преношењу дужи) постоји јединствена тачка C 2
таква да је
C 2
A 1
B 1
≅ CAB и A 1
C 2
≅ AC. Према ставу СУС следи да је ∆ABC ≅ ∆A 1
B 1
C 2
, па је
BC ≅ B 1
C 2
.
Из BC ≅ B 1
C 1
и BC ≅ B 1
C 2
следи B 1
C 1
≅ B 1
C 2
.
Из A 1
C 2
≅ AC и AC ≅ A 1
C 1
следи A 1
C 1
≅ A 1
C 2
.
Према тврђењу претходног задатка, из B 1
C 1
≅ B 1
C 2
и A 1
C 1
≅ A 1
C 2
закључујемо да је
B 1
A 1
C 1
≅ B 1
A 1
C 2
.
Најзад, из C 2
A 1
B 1
≅ CAB и B 1
A 1
C 1
≅ B 1
A 1
C 2
изводимо жељени закључак
CAB ≅ C 1
A 1
B 1
. ■
C
A
B
B
C 1 C 2
A
1
1
Два троугла су подударна ако су две странице једног троугла подударне
двема страницама другог троугла, подударни су углови наспрам једног пара
подударних страница, а углови наспрам другог пара подударних страница су
исте врсте, тј. оба су оштра, права или тупа.
Четврти став подударности
или став ССУ
Доказ. Нека је AB ≅ A 1
B 1
, BC ≅ B 1
C 1
BCA ≅ B 1
C 1
A 1
и CAB и C 1
A 1
B 1
су углови
исте врсте (оба су оштра, оба права или оба тупа). Довољно је доказати да је
CA ≅ C 1
A 1
(Зашто?).
Претпоставимо супротно да дужи CA и C 1
A 1
нису подударне. Тада је једна од ове
две дужи мања од друге. Без губљења општости можемо претпоставити да је
CA < C 1
A 1
. Тада на страници C 1
A 1
постоји тачка A 2
таква да је C 1
A 2
≅ CA. Према
ставу СУС следи да је ∆ABC ≅ ∆A 2
B 1
C 1
, па је AB ≅ A 2
B 1
и CAB ≅ C 1
A 2
B 1
.
Из AB ≅ A 1
B 1
и AB ≅ A 2
B 1
следи да је A 1
B 1
≅ A 2
B 1
, што значи да је ∆A 1
B 1
A 2
једнакокраки, па је B 1
A 1
A 2
≅ B 1
A 2
A 1
. Дакле, углови CAB, C 1
A 2
B 1
, B 1
A 1
A 2
, B 1
A 2
A 1
су међусобно подударни и сви су исте врсте. Како су C 1
A 2
B 1
и B 1
A 2
A 1
упоредни,
следи да ови углови морају бити прави, а самим тим и B 1
A 1
A 2
је прав, што је у
контрадикцији са теоремом о јединствености нормале. ■
A 1
углови исте врсте
C
A
B
B 1 C 1
A 2
Ако су две странице једног троугла подударне двема страницама другог
троугла и угао наспрам веће од њих у једном троуглу једнак је углу наспрам
веће странице у другом троуглу, онда су та два троугла подударна.
Последица која се такође
назива став ССУ
Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући
фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу
са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.
139