Математика, уџбеник са збирком задатака за први разред гимназије, Klett

6
2
1 57648 9
Y
Y'
by
x
y
Z
z = ax + by
X
X'
Доказ. Ако је вектор z колинеаран са једним од вектора x и y , онда се тврђење
једноставно доказује. На пример, ако је z колинеаран са x , онда је z = ax , за неки
реалан број a, па је z = ax + 0y .
Претпоставимо да међу векторима x , y и z нема колинеарних. Нека је O
произвољна тачка одговарајуће равни, а тачке X, Y, Z такве да је x = OX , y = OY
и z = OZ . Нека је X’ пресек праве кроз Z паралелне са OY , а Y’ пресек праве кроз
Z паралелне са OX . Тада је OZ = OX’ + OY’ . Вектори OX и OX’ су колинеарни, па
постоји број a такав да је OX’ = aOX . Такође, вектори OY и OY’ су колинеарни, па
постоји број b такав да је OY’ = bOY .
Дакле, z = OZ = OX’ + OY’ = aOX + bOY = ax + by .
O
ax
Остаје још да покажемо да су бројеви a и b јединствени. Заиста, ако би било
z = a 1
x + b 1
y , за неке a 1
и b 1
, при чему је a ≠ a 1
или b ≠ b 1
, имали бисмо да је
ax + by = a 1
x + b 1
y , односно (a – a 1
)x + (b 1
– b)y = 0 , одакле би следило да су x и y
колинеарни, супротно полазној претпоставци. Дакле, a = a 1
и b = b 1
. ■
Приказивање вектора z компланарног са неколинеарним векторима x и y у
облику z = ax + by назива се разлагање вектора z по x и y .
Пример 4.
Приликом кретања тела низ стрму (косу) раван, сила теже F се разлаже
на такозвану активну компоненту F a
, паралелну са стрмом равни, и
такозвану нормалну компоненту F n
, која је нормална на стрму раван.
Пример 5.
Нека је ABC произвољан троугао, O центар описане кружнице, H
ортоцентар и A’, B’ и C’ средишта страница BC, CA и AB.
Докажимо да је AH = 2OA’ , BH = 2OB’ , CH = 2OC’ .
Вектори AH и OA’ су колинеарни (правци су им нормални на BC), па је
AH = aOA’ за неки реалан број a. Аналогно закључујемо да је BH = bOB’ за
неки реалан број b. Једноставно се уочава да је B’A’ = OA’ – OB’ и
AB = AH + HB = aOA’ – bOB’ . Из теореме о средњој линији троугла следи да
је AB = 2B’A’ , па је AB = 2OA’ – 2OB’ . Дакле, aOA’ – bOB’ = 2OA’ – 2OB’ ,
то јест
(a – 2)OA’ + (2 – b)OB’ = 0 .
Пошто вектори OA’ и OB’ нису колинеарни, следи да је a – 2 = 0 и 2 – b = 0,
одакле добијамо прве две једнакости.
162
Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући
фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу
са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.