Математика, уџбеник са збирком задатака за први разред гимназије, Klett

Логика и скупови
Бинарна релација ρ скупа A je:
• рефлексивна ако је x ρ x за свако x из A;
• ирефлексивна ако за све x из A није x ρ x;
• симетрична ако је за све x и y из A тачна импликација x ρ y y ρ x;
• антисиметрична ако је за све x и y из A тачна импликација
x ρ yy ρ x x = y;
• линеарна ако је за све x и y из A тачна дисјункција x ρ yy ρ x;
• транзитивна ако је за све x, y и z из A тачна импликација
x ρ yy ρ z x ρ z.
дефиниција
Пример 3.
Испитајмо које од особина наведених у претходној дефиницији има релација ρ
скупа A = {a,b,c} из примера 1. Испоставиће се да ова релација нема ниједну од
поменутих особина.
Релација ρ није рефлексивна, јер није тачно да су сви елементи скупа A у релацији
са собом: a ρ a, b ρ b и c ρ c.
Релација ρ није ирефлексивна, јер није тачно да сви елементи скупа A нису у
релацији са собом: a ρ a, b ρ b и c ρ c.
Да релација ρ није ни симетрична ни антисиметрична, показују наредне две табеле
у којима су детаљно испитане све могућности.
x y x ρ y y ρ x x ρ y y ρ x
a a ⊤ ⊤ ⊤
a b ⊤ ⊥ ⊥
a c ⊤ ⊤ ⊤
b a ⊥ ⊤ ⊤
b b ⊤ ⊤ ⊤
b c ⊥ ⊥ ⊤
c a ⊤ ⊤ ⊤
c b ⊥ ⊥ ⊤
c c ⊥ ⊥ ⊤
x y x ρ y y ρ x x = y x ρ yy ρ x x = y
a a ⊤ ⊤ ⊤ ⊤
a b ⊤ ⊥ ⊥ ⊤
a c ⊤ ⊤ ⊥ ⊥
b a ⊥ ⊤ ⊥ ⊤
b b ⊤ ⊤ ⊤ ⊤
b c ⊥ ⊥ ⊥ ⊤
c a ⊤ ⊤ ⊥ ⊥
c b ⊥ ⊥ ⊥ ⊤
c c ⊥ ⊥ ⊤ ⊤
Иако су претходне табеле веома информативне, њихово формирање може да
представља заморан посао ако је скуп коначан и има већи број елемената, док у
случајевима бесконачних скупова није ни могуће формирати овакве табеле.
Покушајмо да откријемо без табела да ли је релација ρ линеарна и да ли је
транзитивна.
Ако пажњу усмеримо на дефиницију релације ρ, односно на њен граф, брзо ћемо
уочити да релација ρ није линеарна, јер је, на пример, b ρ c и c ρ b, тј. ¬(b ρ cc ρ b).
Да релација ρ није транзитивна, следи из чињеница: c ρ a, a ρ b и c ρ b, тј. из
чињенице да није тачна импликација c ρ aa ρ b c ρ b.
Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући
фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу
са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.
27