Математика, уџбеник са збирком задатака за први разред гимназије, Klett

В
теорема
Нека је k произвољна кружница. Тада је за сваку тачку P равни кружнице и
сваку праву a која садржи P и сече кружницу k у тачкама A 1
и A 2
производ
PA 1
∙ PA 2
константан.
Доказ. Размотрићемо три случаја.
1. случај. Тачка P припада унутрашњости кружнице k.
Нека су a и b праве које садрже тачку P и секу кружницу k у тачкама A 1
и A 2
(права
a), односно B 1
и B 2
(права b), као што је приказано на слици лево.
Довољно је доказати да је PA 1
∙ PA 2
= PB 1
∙ PB 2
.
Посматрајмо ∆A 1
PB 1
и ∆B 2
PA 2
. Ови троуглови су слични према другом ставу
сличности (Зашто?). Из ∆A 1
PB 1
~ ∆B 2
PA 2
следи да је PA 1
: PB 1
= PB 2
: PA 2
, одакле
добијамо и тражену једнакост PA 1
∙ PA 2
= PB 1
∙ PB 2
.
2. случај. Тачка P припада спољашњости кружнице k.
Нека су a и b праве које садрже тачку P и секу кружницу k у тачкама A 1
и A 2
(права a), односно B 1
и B 2
(права b), као што је приказано на слици
лево.
Посматрајмо ∆A 1
PB 2
и ∆B 1
PA 2
. Ови троуглови су слични према другом
ставу сличности (Зашто?). Из ∆A 1
PB 2
~ ∆B 1
PA 2
следи да је
PA 1
: PB 2
= PB 1
: PA 2
. Из последње једнакости добијамо једнакост
PA 1
∙ PA 2
= PB 1
∙ PB 2
.
3. случај. Тачка P припада кружници k.
Овај случај је једноставан јер тада је тачка P једна од пресечних тачака кружнице
k и било које праве кроз P, то јест P = A 1
, па је у овом случају посматрани производ
једнак нули. ■
последица
Ако је a права која садржи тачку P и сече кружницу k у тачкама A 1
и A 2
, а t
тангента кроз P која додирује кружницу k у тачки T, онда је PA 1
∙ PA 2
= PT 2 .
Доказ. Посматрајмо ∆A 1
PT и ∆TPA 2
(слика десно).
Ови троуглови су слични према другом ставу
сличности (Зашто?). Из ∆A 1
PT ~ ∆TPA 2
следи да је
PA 1
: PT = PT : PA 2
, а одавде и тражена једнакост. ■
дефиниција
Ако је k кружница и P тачка у њеној равни, тада се производ дужи од тачке P
до тачака пресека било које сечице кроз P са кружницом k назива потенција
тачке P у односу на кружницу k.
236
Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући
фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу
са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.