Математика, уџбеник са збирком задатака за први разред гимназије, Klett

Логика и скупови
Ако су скупови A и B једнаки, тј. ако је A = B, онда je за свако x тачна
еквиваленција:
x A x B.
Ова еквиваленција је конјункција две обратне импликације:
(x A x B)(x B x A).
Прва импликација „каже” да је сваки елемент скупа A такође и елемент скупа B, а
друга да је тачно и обратно, да је сваки елемент скупа B уједно и елемент скупа A.
Скуп A је подскуп скупа B, у ознаци A B, ако и само ако је сваки елемент
скупа A уједно и елемент скупа B, тј. ако и само ако је за свако x тачна
импликација:
x A x B.
Скуп A je прави (строги) подскуп скупа B, у ознаци A B, ако и само ако је
A B и B / A (B није подскуп од A).
дефиниција
Релацију („бити подскуп”) називамо инклузијом, а релацију строгом
инклузијом.
1. Задатак
Испитај инклузијски однос међу скуповима A = {x |x Nx 2 ≤ 9},
B = {x | x = 2x = 3} и C = {2,3,4}.
Узимајући у обзир претходну дефиницију и разматрање испред ње, закључујемо
да је следећа еквиваленција тачна за било које скупове A и B:
A = B A BB A.
У наредном тврђењу наводимо основна (и очигледна) својства инклузије и строге
инклузије.
За било које скупове A, B и C важи:
1. A, 5. A ≠ A,
2. A A, 6. A A,
3. A BB A A = B, 7. A B A B,
4. A BB C A C, 8. A BB C A C.
Примети да су
припадање ()
и инклузија ()
суштински различити
односи.
теорема
a S, {a} S,
{a} S, a / S
Партитивни скуп датог скупа S, у ознаци P(S), јесте скуп свих његових
подскупова. Дакле, P(S) = {X | X S}.
дефиниција
Пример 2.
Одредимо P({1,3,5}).
Једночлани подскупови од {1,3,5} су {1}, {3} и {5}. Двочлани подскупови од {1,3,5}
су {1,3}, {1,5} и {3,5}. Коначно, {1,3,5} и {1,3,5} {1,3,5}, па имамо да је
P({1,3,5}) = {,{1},{3},{5},{1,3},{1,5},{3,5},{1,3,5}}.
Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући
фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу
са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.
21