Математика, уџбеник са збирком задатака за први разред гимназије, Klett

8
1
2 57648 9
Подела дужи у
размери m : n, m, n N
Подела дужи у датој размери m : n, m, n N, заснована је на следећој теореми.
теорема
Паралелне праве a, b, c и d секу праву p редом у тачкама A, B, C и D, а праву p 1
у тачкама A 1
, B 1
, C 1
и D 1
. Ако је AB ≅ CD, онда је A 1
B 1
≅ C 1
D 1
.
p
p 1
A B C
p a b c
d
D
p 1
A B C D
1 1
1 1
b c
d
D
a
A B C
B'
D'
A1
B C D
1 1 1
Доказ. Уколико је p || p 1
, теорема је последица основних особина
паралелограма.
Размотримо случај када p и p 1
нису паралелне праве. Конструишимо кроз
A 1
и C 1
праве паралелне са p, и означимо B’ пресек праве кроз A 1
и праве
b, а D’ пресек праве кроз C 1
и праве d. Једноставно се закључује да је
A 1
B’ ≅ C 1
D’.
Према теореми о угловима са паралелним крацима, B’A 1
B 1
≅ D’C 1
D
и A 1
B’B 1
≅ C 1
D’D 1
. Применом става подударности УСУ, долазимо до
жељеног закључка.
A 1
B’ ≅ C 1
D’
B’A 1
B 1
≅ D’C 1
D 1
A 1
B’B 1
≅ C 1
D’D 1
УСУ
∆A 1
B’B 1
≅ ∆C 1
D’D 1
A 1
B 1
≅ C 1
D 1
■
Пример 1.
Поделимо дату дуж на пет подударних делова. Конструкцију чине следећи кораци:
1. кроз један крај дужи AB, на пример A, конструишемо произвољну праву која не
садржи дату дуж, затим
2. на тој правој одредимо тачке A 1
, A 2
, A 3
, A 4
и A 5
тако да је
AA 1
≅ A 1
A 2
≅ A 2
A 3
≅ A 3
A 4
≅ A 4
A 5
, и на крају
3. конструишемо праву A 5
B и праве кроз A 1
, A 2
, A 3
и A 4
паралелне са A 5
B; ове
четири праве деле AB на пет подударних делова.
A
AP : PB = 2 : 3
P
AQ : QB = 3 : 2
Q
X 1
X 2
X 3
x
X 4
X 5
Пример 2.
Поделимо дуж AB у размери 2 : 3, односно одредимо тачку P дужи AB такву да је
AP
PB = 2 3 .
B
Најпре дуж делимо на 5 једнаких делова: конструишемо полуправу Ax и
на њој одређујемо тачке X 1
, X 2
, X 3
, X 4
, X 5
такве да је
AX 1
≅ X 1
X 2
≅ X 2
X 3
≅ X 3
X 4
≅ X 4
X 5
. Права кроз X 2
паралелна са BX 5
сече AB у
траженој тачки P:
AP
PB = AX 2
= 2 X 2
X 5
3 .
На слици лево одређена је и тачка Q дужи AB таква да је AQ : QB = 3 : 2.
220
Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући
фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу
са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.