Математика, уџбеник са збирком задатака за први разред гимназије, Klett

8
1
2 57648 9
теорема
Ако је H O,k
(X) = X' и H O,k
(Y) = Y', онда је X'Y' = kXY .
Доказ. Из H O,k
(X) = X' и H O,k
(Y) = Y' следи да је OX' = kOX и
OY' = kOY . Како је X'Y' = OY' – OX' , имамо да је
X'Y' = OY' – OX' = kOY – kOX = k(OY – OX ) = kXY . ■
теорема
Ако је X – Y – Z и H O,k
(X) = X', H O,k
(Y) = Y' и H O,k
(Z) = Z', онда је X' – Y' – Z'.
Доказ. Из X – Y – Z следи XY + YZ = XZ. Према претходној теореми
имамо да је X'Y' = kXY, Y'Z' = kYZ и X'Z' = kXZ.
Дакле, X'Z' = k(XY + YZ) = X'Y' + Y'Z', одакле следи да је Y' између тачака
X' и Z', што је и требало доказати. ■
теорема
Из доказаних особина следе следећа тврђења.
• Хомотетија дуж пресликава у дуж: ако је H O,k
(A) = A' и H O,k
(B) = B', онда је
H O,k
(AB) = A'B';
• Хомотетија праву пресликава у паралелну праву: ако су A и B две тачке праве
p и ако је H O,k
(A) = A' и H O,k
(B) = B', онда је H O,k
(p) = p', при чему је p' права
одређена тачкама A' и B' и p || p'.
дефиниција
Слика фигуре Φ хомотетијом H O,k
је фигура Φ' = H O,k
(Φ) = {H O,k
(X) | X Φ}.
На основу ових особина и теореме о угловима са паралелним крацима долазимо и
до следећег закључка.
Хомотетијом се угао пресликава у подударан угао.
226
Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући
фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу
са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.