Математика, уџбеник са збирком задатака за први разред гимназије, Klett

Подударност
t
Права која сече неке две праве назива се трансверзала тих правих. Ако су a и b
две паралелне праве и t њихова трансверзала, испитајмо однос међу угловима
које права t образује са правама a и b. Права t са правама a и b образује осам
конвексних (неопружених) углова које делимо на:
• унутрашње, чији краци садрже дуж AB и
• спољашње, чији краци не садрже дуж AB.
a
спољашњи
углови
b
A
B
унутрашњи
углови
Два спољашња угла или два унутрашња угла која нису са исте стране
трансверзале и нису суседни називају се наизменични углови.
Права t сече праве a и b у различитим тачкама. Нека су α и β наизменични
углови које права t образује са правама a и b. Праве a и b су паралелне акко су
углови α и β подударни.
наизменични углови
a b
t
Теорема о наизменичним
угловима
Доказ. Нека су A и B тачке пресека трансверзале t редом са правама a и b.
Довољно је теорему доказати за један пар унутрашњих наизменичних углова.
() Претпоставимо да су подударна два унутрашњa наизменична угла. Тада су
подударна и друга два унутрашња наизменична угла.
a
n
A
t
Ако су уочени углови прави, тврђење које треба доказати важи према теореми о
јединствености нормале. Претпоставимо зато да уочени углови нису прави. Нека
α и β означавају пар оштрих наизменичних углова.
Нека је S средиште дужи AB, S 1
подножје нормале n из S на a и S 2
тачка таква да је
S 2
S ≅ SS 1
и S 2
– S – S 1
. Показаћемо да тачка S 2
припада правој b.
b
B
S 1
S
S 2
SA ≅ SB
S 2
S ≅ SS 1
ASS 1
≅ BSS 2
(унакрсни углови су подударни)
СУС
∆SAS 1
≅ ∆SBS 2
SAS 1
≅ SBS 2
SS 1
A ≅ SS 2
B
Из α = SAS 1
≅ SBS 2
и α ≅ β, следи да је β ≅ SBS 2
, па према аксиоми о преношењу
углова, тачка S 2
припада правој b.
Пошто је SS 1
A прав, закључујемо да је и SS 2
B прав угао. Дакле, права n је
нормална и на b. Према теореми о јединствености нормале, праве a и b не могу
имати заједничку тачку, што значи да су паралелне.
a
b
b' B
A
B'
t
() Претпоставимо да је a || b. У полуравни одређеној правом t, у којој се не
налази угао α, постоји полуправа BB’ таква да је ABB’ ≅ α. Ако је b’ права на
којој се налази BB’, из првог дела доказа ове теореме следи да је a || b’. На основу
аксиоме паралелности закључујемо да b и b’ означавају исту праву. Наравно,
ABB’ јесте заправо угао β. ■
Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући
фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу
са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.
141