Математика, уџбеник са збирком задатака за први разред гимназије, Klett

7
2
1 57648 9
Број max {a,b} једнак
је већем од бројева a и
b. На пример,
max {2,3} = 3,
max {4,0} = 4,
max {3,3} = 3, и сл.
Аналогно се
дефинише min {a,b}.
теорема
1. Задатак
Без директног сабирања и множења полинома P(x) и Q(x), одреди deg (P + Q) и
deg (P ∙ Q) ако је:
1) P(x) = –x 3 + 2x 2 – 14x + 5 и Q(x) = –x 2 – x – 1;
2) P(x) = –24x 8 + 3,7x 7 – 150x 2 + 15 и Q(x) = 17x 6 – 1,2x + 58;
3) P(x) = 2x 13 + x 2 + x + 1 и Q(x) = –2x 13 + 5x 7 – x 2 .
Ако полиноми P(x) и Q(x) нису нулти полиноми, онда је
deg (P + Q) ≤ max {deg (P), deg (Q)} ако P + Q није нулти полином
и
deg (P ∙ Q) = deg (P) + deg (Q).
Приметимо да је водећи коефицијент производа два полинома производ водећих
коефицијената тих полинома.
(α k
x k + α k – 1
x k – 1 + ... + α 0
) ∙ (β m
x m + β k – 1
x k – 1 + ... + β 0
) = α k
β m
x k + m + ...
Када се променљивој x додели нека конкретна вредност, вредност полинома P(x)
се рачуна на уобичајени начин.
Пример 2.
Ако је P(x) = –3x 3 + x 2 – 4, онда је
P(2,1) = –3 ∙ (2,1) 3 + (2,1) 2 – 4 = –27,373,
P(–2,1) = –3 ∙ (–2,1) 3 + (–2,1) 2 – 4 = 28,193,
P(1) = –3 ∙ 1 3 + 1 2 – 4 = –6,
P(0) = –3 ∙ 0 3 + 0 2 – 4 = –4.
За сваки полином
P(x) вредност P(0) је
једнака слободном
члану, а P(1) збиру
коефицијената
полинома P.
важна теорема
Два полинома (са истом променљивом) су еквивалентна ако и само ако имају
једнаке канонске облике.
Претходна теорема се веома често користи при раду са полиномима што ћемо
илустровати већ у наредном примеру.
Пример 3.
Одредимо константе α и β тако да полиноми
P(x) = x 3 – 2x 2 + α и Q(x) = (x + 1)(x 2 + βx + γ)
буду еквивалентни. Како је Q(x) = x 3 + (β + 1) x 2 + (γ + β)x + γ, да би било
x 3 – 2x 2 + α = x 3 + (β + 1) x 2 + (γ + β)x + γ,
према претходној теореми имамо да је
–2 = β + 1, 0 = γ + β, α = γ.
Из ових једнакости једноставно добијамо да је:
β = –3, γ = 3, α = 3.
198
Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући
фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу
са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.