Математика, уџбеник са збирком задатака за први разред гимназије, Klett

Тежишна дуж троугла је дуж чија је једна крајња тачка теме тог троугла, а
друга средиште наспрамне странице.
C
ta
Б
A 1
Сваки троугао има три тежишне дужи. Уобичајено је да се у троуглу ABC тежишне
дужи из темена A, B и C редом обележавају t a
, t b
и t c
. Користећи теорему о средњој
линији троугла изводимо основну теорему о тежишним дужима троугла.
Тежишне дужи троугла секу се у једној тачки. Заједничка тачка тежишних
дужи сваку од њих дели у односу 2 : 1.
Доказ. Нека су A 1
и B 1
редом средишта страница BC и CA. Дуж A 1
B 1
је средња
линија троугла ABC, па је према теореми о средњој линији троугла A 1
B 1
|| AB и
AB = 2A 1
B 1
.
Нека је T пресек тежишних дужи AA 1
и BB 1
, a A 2
и B 2
редом средишта дужи AT и
BT. Дуж A 2
B 2
је средња линија троугла ABT, па је A 2
B 2
|| AB и AB = 2A 2
B 2
.
Дакле, A 1
B 1
и A 2
B 2
су подударне и паралелне дужи, одакле следи да је A 2
B 2
A 1
B 1
паралелограм. Дијагонале паралелограма се полове, па је TA 1
= TA 2
и TB 1
= TB 2
.
Дакле, TA = 2TA 1
и TB = 2TB 1
, што значи да тачка T дели тежишне дужи AA 1
и BB 1
у односу 2 : 1.
A
A
B 1
C
A 1
T
A 2 B 2
C
B
B
Ако са T’ означимо пресек тежишних дужи BB 1
и CC 1
, аналогно претходном
доказујемо да је T’B = 2T’B 1
и T’C = 2T’C 1
, одн. да T’ дели тежишне дужи BB 1
и
CC 1
у односу 2 : 1. Закључујемо да T и T’ морају бити исте тачке, чиме је теорема
доказана. ■
A
B 1
C 2
T'
B 2
C 1
B
Пример 3.
Дат је троугао ABC и нека су A’, B’ и C’ средишта страница BC, CA и AB. Докажимо
да је AA’ + BB’ + CC’ = 0 .
AA’ + BB’ + CC’ = (AB + BA’ ) + (BC + CB’ ) + (CA + AC’ )
= ( AB + 1 2 BC ) + ( BC + 1 2 CA ) + ( CA + 1 2 AB )
= 3 2
(AB + BC + CA ) = 0 .
Бројне примене вектора засноване су на наредној важној теореми.
Нека су x и y неколинеарни вектори једне равни. Тада за сваки вектор z исте
равни постоје јединствени бројеви a и b такви да је z = ax + by .
Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући
фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу
са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.
161