Математика, уџбеник са збирком задатака за први разред гимназије, Klett

Подударност
Две усмерене дужи су надовезане ако је завршна тачка једне усмерене дужи
истовремено почетна тачка друге усмерене дужи. Збир надовезаних усмерених
дужи AB и BC је усмерена дуж AC , AB + BC = AC .
Није тешко уочити да из AB = A 1
B 1
и BC = B 1
C 1
следи да је AC = A 1
C 1
,
AB + BC = AC . Ова чињеница омогућава да дефинишемо збир било која два
вектора a и b ослањајући се на сабирање погодно изабраних надовезаних
усмерених дужи. Након што произвољно изаберемо усмерену дуж која је
представник вектора a , a = XY , представник вектора b је јединствено одређен
тачком Z таквом да је b = YZ . Збир вектора a и b је вектор одређен усмереном
дужи XZ , a + b = XZ .
Y
a
X
U
Z
a + b
V
b
Ако је a = XY и b = YZ , збир вектора a + b одређује усмерена дуж XZ :
a + b = XY + YZ = XZ .
Ако су x , y и z произвољни вектори, онда је:
1. x + (y + z ) = (x + y ) + z (сабирање вектора је асоцијативно),
2. x + y = y + x (сабирање вектора је комутативно),
3. x + 0 = x (нула-вектор је неутрал за сабирање),
4. x + (–x ) = 0 .
Доказ.
1. Изаберимо представнике вектора x , y и z тако да буду надовезане усмерене
дужи: x = AB , y = BC и z = CD . Тада је:
x + (y + z ) = AB + (BC + CD ) = AB + BD = AD и
(x + y ) + z = AB + (BC ) + CD = AC + CD = AD .
2. Изаберимо представнике вектора x и y тако да буду надовезане усмерене дужи:
x = AB , y = BC. Тада је x + y = AB + BC = AC . Ако је D јединствена тачка таква
да је x = CD , онда је y + x = BC + CD = BD . Ако тачке A, B и C нису колинеарне,
онда из AB = CD следи да је ABDC паралелограм, па је AC = BD , тј. x + y = y + x .
До истог закључка долазимо у случају да су A, B и C колинеарне. Изостављамо ова
разматрања, заснована на једноставним применама аксиома подударности.
3. Нека је x = AB . Тада је x + 0 = AB + BB = AB = x .
4. Ако је x = AB , онда је –x = BA , па је x + (–x ) = AB + BA = AA = 0 . ■
D
z
x + y + z
A
y
x
B
C
x
D
x + y
y
y + x
A
x
B
C
Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући
фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу
са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.
157