Математика, уџбеник са збирком задатака за први разред гимназије, Klett

Реални бројеви
Не постоји рационалан број x такав да је x 2 = 2.
теорема
Доказ. Претпоставимо супротно од онога што теорема тврди, да постоји
рационалан број x такав да је x 2 = 2. Тада се x може приказати у облику x = m n , где
су m и n неки узајамно прости природни бројеви. Тада је
m
n
= m2
n = 2, односно, 2 m2 = 2n 2 .
Из последње једнакости следи да је m 2 паран број, а отуда и да је m паран број.
Дакле, m = 2k, за неки природан број k. Сада имамо да је
(2k) 2 = 4k 2 = 2n 2 , односно, n 2 = 2k 2 .
Из последње једнакости следи да је n 2 паран број што значи да је и n паран број.
Како су и m и n парни природни бројеви, они не могу бити узајамно прости што
је супротно нашој претпоставци. Добијена контрадикција обара претпоставку да
постоји рационалан број x такав да је x 2 = 2. ■
Пример 1. и претходна теорема указују на потребу да се скуп рационалних бројева
прошири бројевима који се могу представити бесконачним непериодичним
децималним записима. Овакве бројеве (и позитивне и негативне) називамо
ирационалним бројевима. Скуп свих ирационалних бројева обележавамо .
Пример 2.
Није тешко замислити децималне записе који нису периодични. На пример, запис
0,101001000100001000001000000100000001000000001 ...
у којем се дати низ децимала наставља тако што се након сваке јединице упише
једна нула више од броја нула испред ње, а иза јединице која јој претходи. Овакав
запис очигледно није периодичан те представља запис једног ирационалног броја.
Примети да је неопходно да запис прати текст којим се описује наставак низа
децимала.
Ако прост број p дели
a 2 (a ),
онда p дели и a.
1,41
4213
56237
309504
8801688
72420969
80785696718
7537694807317
6679737990732478462
.......................................
........................................
Пошто се децимални запис неког ирационалног броја не може никада „до краја”
приказати, прибегава се другима начинима означавања ових бројева.
Пример 3.
Ирационалан број x такав да је x 2 = 2 означавамо √2. Супротан број овом броју
је такође ирационалан и означавамо га –√2. Уопште, ако је m природан број
који није потпун квадрат, може се доказати да су решења једначине x 2 = m
ирационални бројеви. Oве бројеве означавамо √m и –√m.
Велики је број
једначина (са којима
ћемо се детаљније
упознати у наредним
разредима) које имају
само ирационална
решења. Примери
таквих једначина су:
x 3 = 2, x 5 = 4, x 17 = 11
итд.
Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући
фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу
са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.
67