Математика, уџбеник са збирком задатака за први разред гимназије, Klett

8
А
Примене ставова сличности
Применом сличности на правоугли троугао доказаћемо Питагорину теорему о
чијој важности не треба много говорити. Најпре доказујемо неке „помоћне” и
такође важне једнакости у вези са дужима правоуглог троугла.
теорема о одсечцима које
висина гради на хипотенузи
Нека је ABC произвољан правоугли троугао са правим углом код темена C и
D подножје висине из C на хипотенузу AB. Тада су тачне једнакости:
AC 2 = AB ∙ AD, BC 2 = AB ∙ DB, CD 2 = AD ∙ DB.
Доказ. Да бисмо поједноставили запис, користићемо ознаке као на слици лево, уз
напомену да са c означавамо хипотенузу AB. Тада је c = p + q.
Троуглови ABC и ACD су правоугли и имају исти угао у темену A.
Дакле, ΔABC ~ ΔACD, па је
c
b = b p = a h c
,
одакле следи једна од једнакости коју треба доказати b 2 = cp.
Троуглови ABC и CBD су правоугли и имају исти угао у темену B. Даклe,
ΔABC ~ ΔCBD, па је
c
a = a q = b h c
,
одакле следи да је a 2 = cq.
Из претходне две сличности следи и да је ΔACD ~ ΔCBD, па је
h c
q = p h c
= b a ,
то јест h c
2
= pq. ■
Претходна теорема се може формулисати и на следећи начин, који је
једноставнији за памћење.
Катета правоуглог троугла је геометријска средина хипотенузе и суседног
одсечка који на хипотенузи гради њена висина.
Висина која одговара хипотенузи је геометријска средина одсечка које она
гради на хипотенузи.
Питагорина теорема
Квадрат хипотенузе једнак је збиру квадрата катета.
Доказ. Користећи ознаке као у доказу претходне теореме, из једнакости a 2 = cq и
b 2 = cp, заједно са c = p + q добијамо a 2 + b 2 = cq + cp = c(p + q) = c 2 . ■
234
Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући
фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу
са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.