Математика, уџбеник са збирком задатака за први разред гимназије, Klett

2
2
1 57648 9
Основне особине
релације дељивости
Основне особине релације дељивости
• Ако a | b, онда a | bc, за свако c из Z (a ≠ 0).
• Ако a | b и b | c, онда a | c (a, b ≠ 0).
• Ако a | b и a | c, онда a | xb + yc, за све x и y из Z (a ≠ 0).
• Ако a | b и b | a, онда a = b или a = –b (a, b ≠ 0).
• Ако је a, b ≥ 1 и a | b, онда је a ≤ b.
Доказ.
1) Ако је a | b, онда је b = aq, за неко q из Z. За било које c из Z, важи bc = aqc,
одакле следи да a | bc.
2) Из a | b и b | c следи да је b = aq 1
и c = bq 2
, за неке q 1
и q 2
из Z. Из једнакости
c = bq 2
= aq 1
q 2
закључујемо a | c.
3) Из a | b и a | c следи да је b = aq 1
и c = aq 2
, за неке q 1
и q 2
из Z. Из једнакости
xb + yc = xaq 1
+ yaq 2
= a(xq 1
+ yq 2
) закључујемо a | xb + yc.
4) Из a | b и b | a следи да је b = aq 1
и a = bq 2
, за неке q 1
и q 2
из Z. Из једнакости
ab = abq 1
q 2
закључујемо да је q 1
q 2
= 1. Како су q 1
и q 2
цели бројеви, постоје две
могућности: или је q 1
= 1 и q 2
= 1 или је q 1
= –1 и q 2
= –1.
У првом случају је a = b, а у другом a = –b.
5) Ако је a, b ≥ 1 и a | b, онда је b = aq, при чему мора бити q ≥ 1.
Дакле, b = aq ≥ a · 1 = a. ■
Последица
Ако a | b и a | c, онда број a | b + c и a | b – c.
Пример 2.
Да ли постоје цели бројеви m и n такви да је 4m + 6n = 2019?
Одговор је одричан. За било које бројеве m и n вредност израза 4m + 6n је паран
број. Насупрот томе, број 2019 је непаран.
Еуклидов алгоритам
Дефиниција
4. Задатак
Да ли постоје цели бројеви m и n такви да је 6m + 9n = 10 000?
Највећи заједнички делилац бројева a и b јесте највећи природан број који
дели и број a и број b. Највећи заједнички делилац бројева a и b означавамо
НЗД(a, b).
50
Да бисмо поједноставили излагање, ограничићемо се на дељивост природних
бројева. Један од најстаријих и најпознатијих поступака за одређивање највећег
заједничког делиоца два природан броја назива се Еуклидов алгоритам. Еуклид
је старогрчки математичар који је на прелазу из 4. у 3. век пре н. е. написао дело
под називом Елементи. Елементи се састоје из 13 књига у којима су изложена
целокупна математичка знања тог времена. У седмој књизи Елемената описан је и
поступак одређивања највећег заједничког делиоца који се данас назива Еуклидов
алгоритам.
Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући
фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу
са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.