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où β est le vecteur des coefficients de régression et λ 0 (t) est la fonction de risque de base.Plus précisément, λ 0 (t) est le risque instantané de décès des sujets pour lesquels toutes lesvariables explicatives x i sont égales à 0. La fonction r(β, x) dépend des caractéristiquesx du sujet, et cette dépendance est mesurée par les coefficients β. En général on choisitr(β, x) = exp(β ′ x) de façon à obtenir une fonction de risque positive sans contraintes surles coefficients β et quelles que soient les valeurs de x. Le modèle s’écrit alors :λ(t, x) = λ 0 (t) exp(β ′ x)Ceci conduit à l’expression suivante pour la fonction de survieS(t, x) = S 0 (t) exp(β′ x)Le modèle à risques proportionnels de Cox fait plusieurs hypothèses sous-jacentes :Il est appelé modèle à risques proportionnels, car si on considère deux individus j etj ′ ayant deux valeurs du vecteur des p variables explicatives x j et x ∗ j ′, le rapport de leur(λ(trisque est constant et il ne dépend pas de t,j |x j )= exp [∑ pλ(t j ′|x ∗ j ′) k=1 β k(x jk − x ∗ j ′ k )]) .La méthode d’estimation est basée sur l’hypothèse que les temps de survie d’individusdistincts sont indépendants les uns par rapport aux autres, conditionnellement auxvariables explicatives. Bien que cette hypothèse puisse être valide dans certaines études,elle peut être fausse dans d’autres, notamment lorsque les données sont groupées. Nousprésentons dans le reste de l’exposé des modèles ou des approches utilisés lorsque cettehypothèse n’est plus vérifiée.Estimation et testsPour estimer l’effet des variables explicatives x sur la survie, on doit estimer les coefficientsde régression β. On dispose d’un échantillon de N sujets. Pour chaque sujetj, on observe une durée de survie, éventuellement censurée à droite, et un vecteur de pvariables explicatives x j = x j1 , x j2 , ..., x jp . Soit T la variable durée de survie étudiée. Onnote t 1 , t 2 , ..., t k les différents temps de décès observés dans l’échantillon, n l le nombrede décès observés en t l et D l l’ensemble des indices des sujets décédés en t l . On indicepar (1), (2), ..., (k) les sujets décédés respectivement en t 1 , t 2 , ..., t k . Soit R j l’ensemble desindices des sujets à risque au temps t j et N j le nombre de ces sujets. Connaissant l’effectif