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() −1c’est à dire lim trace 1 + 2κ n ΩÎ(ˆη)−1 = m.n→∞ ( )– Si lim 2κ n ΩÎ(ˆη)−1 = C, où C est une limite finie.n→∞() −1– soit C = 0 et lim trace 1 + 2κ n ΩÎ(ˆη)−1 = mn→∞– soit C ≠ 0 et limn→∞trace– Si limn→∞(2κ n ΩÎ(ˆη)−1 )= +∞. alors, lim(1 + 2κ n ΩÎ(ˆη)−1 ) −1< m (car C > 0)n→∞(Donc une condition nécessaire pour avoir lim ddl = m) n→∞c’est d’avoir lim 2κ n ΩÎ(ˆη)−1 = 0n→∞(2κ n ΩÎ(ˆη)−1 ) −1= 2or si on suppose que Î(ˆζ) est en O p (n) alors κ n doit être en o p (n), c’est à dire, κ n ne doitpas croître aussi vite que n.3.4 Variance des paramètresNous nous sommes inspirés des travaux de Gray [38, 39] pour estimer la variance desparamètres estimés. Gray a utilisé une approche par vraisemblance pénalisée pour estimerl’effet des variables explicatives non-paramétriquement dans un modèle de survie classiquepour données censurées. Notre approche sera différente de la sienne pour deux raisons : lemodèle considéré est un modèle à fragilité pour données groupées, et la pénalisation portesur la fonction de risque et non pas sur l’effet des variables explicatives. Nous proposonsun estimateur pour la variance des trois paramètres d’intérêt du modèle : les coefficientsdes splines, les paramètres de régression et la variance des effets aléatoires. Nous notonsces paramètres du modèle par le vecteur : ζ ′ = (η 1 , ..., η m ; β 1 , ..., β p ; θ).Lorsque l’on utilise une vraisemblance classique (non pénalisée), la matrice de variancecovariancedes paramètres s’estime directement par I −1n(ˆζ) où I n (ˆζ) = E(− ∂2 l(ˆζ)). Parcontre, lorsque l’on utilise une vraisemblance pénalisée, la matrice de variance-covarianceprend une forme différente. En s’inspirant des travaux de Gray [38] qui s’intéressait àmodéliser par vraisemblance pénalisée la forme de la fonction représentant l’effet desvariables explicatives, l’estimateur de la matrice de variance-covariance des paramètresestimés devient :var(ˆζ) = Ĥn−1(ˆζ) Î n (ˆζ)Ĥn−1 (ˆζ) = ˆV (ˆζ) (3.5)où −H n est l’espérance de la hessienne de la vraisemblance pénalisée.∂ζ 2