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Dans le modèle à fragilité, les paramètres sont estimés par maximisation d’une vraisemblanceet non par maximisation d’une vraisemblance partielle de Cox. Nous allonsdonc avoir trois types de paramètres d’intérêt à estimer : les coefficients de régression β,la variance des effets aléatoires θ et les fonctions de risque de base λ 0h (t).Comme l’ont mentionné Nielsen et al [70], nous supposerons dans le modèle à fragilitéque conditionnellement à la variable Z et aux variables explicatives, la censureest indépendante et non-informative pour Z ′ = (Z 1 , ..., Z G ). De plus on va supposerune indépendance des temps de survie dans chaque groupe conditionnellement aux effetsaléatoires Z i .A partir de ces hypothèses et si Z était observée, on pourrait effectuer des inférencesstatistiques à partir de la contribution à la vraisemblance conjointe de Y i et Z i pour legroupe i :V i (Y i , X ihj |Z i ) =K∏ ∏n ihh=1 j=1λ ihj (Y ihj , X ihj |Z i ) δ ihj S ihj(Y ihj , X ihj |Z i )S ihj (L ihj , X ihj |Z i ) g(z i) (2.12)où g(z) est la fonction de densité de la variable de fragilité. Cette vraisemblance n’étantpas observée, on travaille sur la vraisemblance marginale obtenue par intégration de lavraisemblance conjointe.V i (Y i , X ihj ) =∫ +∞0K∏ ∏n ihh=1 j=1λ ihj (Y ihj , X ihj |Z i ) δ ihj S ihj(Y ihj , X ihj |Z i )S ihj (L ihj , X ihj |Z i ) g(z i)∂z iPuis par indépendence des G groupes on obtient la vraisemblance sur l’échantillon :V (Y, X) =G∏i=1∫ +∞0K∏ ∏n ihh=1 j=1λ ihj (Y ihj , X ihj |Z i ) δ ihj S ihj(Y ihj , X ihj |Z i )S ihj (L ihj , X ihj |Z i ) g(z i)∂z iSi g(z) est la fonction de densité d’une loi gamma égale à :alors la vraisemblance sera égale à :g(z) = z(1/θ−1) exp(−z/θ)Γ(1/θ)θ 1/θ