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ζ ′= (η 1 , ..., η m ; β 1 , ..., β p ; θ) la matrice Ω est nulle pour les indices correspondant auxparamètres (β 1 , ..., β p ; θ).3.3.1 Validation croiséeNous présentons ici brièvement la méthode par validation croisée qui permet d’estimerun paramètre de lissage sans faire intervenir des variables explicatives.La méthode par validation croisée est fréquemment mise en œuvre pour estimer unparamètre de lissage [85, 72]. Supposons que pour une valeur donnée du paramètre delissage κ, il soit possible d’obtenir un estimateur de la fonction inconnue ˆλ(κ). Le principede la validation croisée est de mesurer comment le modèle ajusté sur toutes les observationsexceptée la j ième peut prédire l’observation j. Ainsi, une donnée est retirée de l’échantilloninitial, la fonction d’intérêt est alors estimée sur le reste de l’échantillon et la vraisemblancede cette observation est calculée à partir de la fonction estimée, et ceci pour chaqueobservation. Le paramètre de lissage est choisi en optimisant la prédiction des donnéespar cette méthode. Cela revient à maximiser la fonction de score suivante :CV (κ) = 1 n∑n ihj=1l j (ˆη −j (κ))où ˆη −j (κ) est l’estimateur du maximum de vraisemblance pénalisée de η pour l’échantillonprivé du j ième individu et l j (.) est la log-vraisemblance pour le sujet j.Le temps de calcul nécessaire est très important dans cette méthode puisqu’il faut estimerune fonction pour chaque observation retirée et pour chaque valeur de κ. Nous utilisonsdonc une approximation de la fonction CV (κ). Elle est basée sur un développementdu premier ordre de l j (ˆη −j (κ)) autour de l j (ˆη(κ)) puisque l j (ˆη −j (κ)) est proche de l j (ˆη(κ)).Ceci conduit à une expression de la forme :où I(η) = ECV (κ) = 1 n l j(ˆη(κ)) − 1 n trace ( [Î(ˆη) + 2κΩ] −1Î(ˆη))( )− ∂2 l(η)∂η 2(3.4)est la matrice d’information (Î(ˆη) = − ∂2 l(ˆη)), et H(η) = I(η)+2κΩ∂η 2est moins le hessien de la log-vraisemblance pénalisée (Ĥ(ˆη) = Î(ˆη) + 2κΩ).On peut remarquer(que cette approximation (3.4) est égale à un critère d’Akaike [3]] )−1si on interprète trace[Î(ˆη) + 2κΩ Î(ˆη) comme le nombre de degrés de liberté du