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de la vraisemblance lorsque l’on est en présence d’un ˆθ proche de 0 (soit ˆθ ≤ 10 −6 ).Pour cela nous avons effectué un développement limité d’ordre 3 du second terme dansl’expression de la log-vraisemblance (3.2) :−(1/θ + m i )ln [1 + θ∆ i ] ≃ −∆ i(1 − θ(Z/2 − mi ) + θ 2 (∆ 2 i /3 − m i ∆ i /2) + m i θ 3 ∆ 2 i /3 )avec , ∆ i = ∑ K ∑ nihh=1 j=1 (Λ 0h(Y ihj ) − Λ 0h (L ihj )) exp(β ′ X ihj )4.1.3 Résultats des simulationsLa figure (4.1) illustre pour un échantillon de 400 sujets et un paramètre de variancefixé à θ = 0.4, les fonctions de risque de base théorique et estimée et la fonction derisque marginale estimée (λ ∗ 0h (t)). Les bandes de confiance de la fonction de risque debase estimée sont ici obtenues par l’estimateur ̂ H−1 IH −1 de la variance des paramètresdes coefficients des splines. Nous avons pu vérifier que ces bandes de confiance étaientplus étroites que celles utilisant l’estimateur Ĥ−1 de la variance.Fig. 4.1 – Fonctions de risque de base théorique et estimée et fonction de risquemarginale estimée pour une variance θ = 0.4 des variables de fragilité.2Fonction de risque de base theoriqueFonction de risque de base estimeebandes de confiance inferieurebandes de confiance superieureFonction de risque marginale estimee1.5Fonctions de risque10.500 1 2 3 4 5Temps de survieL’ensemble des résultats de ces simulations obtenus par vraisemblance pénalisée figurentdans les tableaux (4.1 à 4.4). Nous présentons également les résultats des mêmes