Télécharger le texte intégral

dépendance intra-groupe. Ainsi, ils proposent d’utiliser Ṽ = ˆV C ˆV un estimateur corrigéet “robuste” de la matrice de variance-covariance pour ˆβ (dit estimateur “sandwich”) quiajuste la matrice de variance-covariance usuelle ˆV en tenant compte des possibles associationsintra-groupes des événements. L’estimateur de variance-covariance est dit robustedans le sens où même si le modèle de Cox est mal spécifié, (avec par exemple des variablesexplicatives importantes omises) l’estimateur de variance-covariance des paramètres derégression est quand même consistant [60].Pour construire la matrice de variance-covariance corrigée, on considère ˆV la matrice devariance covariance usuelle p × p pour β, basé sur le modèle de travail (sous l’hypothèsed’indépendance des données), ˆV = I −1 ( ˆβ), avec I la matrice d’information de Fisher.Pour estimer la matrice de correction C, on considère les temps de survie (Y ij , δ ij , X ij ) etN ij (t) = I(Y j ≥ t) indique si l’individu j du groupe i est à risque juste avant t ou non.Lin et al [60] puis Wei et al [94] démontrent que U(β) la fonction de score est asymptotiquementéquivalente à une somme de vecteurs aléatoires indépendants et identiquementdistribués, c’est à dire n −1/2 U(β) ≃ n −1/2 ∑ Gi=1∑ nij=1∑ nil=1 W ijW ′il. Ils déduisent alors, enappliquant le théorème de la limite centrale, que l’estimateur ˆβ suit asymptotiquement uneloi normale multivariée de moyenne β et d’estimateur de la matrice de variance-covariancecorrigée et robuste :Ṽ = ˆV C ˆVavec, c h,k l’élément de la matrice C définie par : c h,k = ∑ G ∑ ni∑ nii=1 j=1 l=1 W ijhW ilk et pourk = 1, ..., p[W ijk = δ ij X ijk − S ]1k(Y ij )−S 0 (Y ij )G∑ ∑n ig=1 h=1Pour cela, on introduit les notations suivantesδ gh N ij (Y gh ) exp(β ′ X ij )S 0 (Y gh )[X ijk − S ]1k(Y gh )S 0 (Y gh )S 0 (t) =G∑ ∑n iN ij (t) exp(β ′ X ij )i=1 j=1et,G∑ ∑n iS 1k (t) = N ij (t)X ijk exp(β ′ X ij ) pour k = 1, ..., pi=1 j=1On peut montrer que si les temps de survie dans un même groupe sont indépendantsalors C est asymptotiquement équivalente à ˆV −1 , et la matrice de variance-covariance