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une restriction : la dépendance entre les temps de survie est plus importante pour lesévénements tardifs. La distribution gamma a une large queue de distribution à gauche,conduisant à une dépendance plus élevée tardivement. D’autres distributions telles quedes distributions positives stables introduites par Hougaard [45] semblent applicables ;elles permettent notamment de préserver la proportionnalité des risques des distributionsmarginales, mais elles sont plus difficiles à mettre en œuvre [76].Dans le modèle (2.5), la fonction de densité g(z) et la fonction de risque λ(t) peuventêtre identifiées si E(Z) est finie et si des variables explicatives sont incluses dans le modèle[29]. Si on ne souhaite pas spécifier une forme paramétrique pour la densité de probabilitéde Z, on peut choisir d’utiliser un estimateur non-paramétrique du maximum devraisemblance pour g(z) [8].Modèle à fragilité gammaLa distribution gamma pour les variables z est souvent utilisée en raison de ses propriétésmathématiques. En particulier, la distribution des variables de fragilité parmi lessurvivants à un âge donné est encore une distribution gamma avec le même paramètrede forme, mais avec un paramètre d’échelle différent. Ainsi, la distribution conditionnelledes variables de fragilité pour des temps de survie tronqués à gauche, reste dans la mêmefamille de distribution.Dans ce cas la fonction de densité de probabilité pour Z s’écrit :g(z) = z(c−1) exp(−z/θ)Γ(c)θ cavec c > 0 le paramètre de forme et θ > 0 le paramètre d’échelle ; ainsi E(Z) = cθ etvar(Z) = cθ 2 . Nous avons représenté sur la figure (2.1) la fonction de densité de probabilitépour une loi gamma pour un paramètre d’échelle égal à 1 et différentes valeurs duparamètre de forme. A partir de cette densité de probabilité, on peut déduire facilement :S(t, X) =1(1 + θΛ(t, X)) c λ(t, X) =λ(t, X)cθ1 + θΛ(t, X)(2.8)et E(Z|T ≥ t) =c(1/θ + Λ(t, X))(2.9)