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V (Y, X) ={G∏ ∏ K∏n ih(λihj (Y ihj , X ihj )ihj)δi=1h=1 j=1}Γ(m i + 1/θ)×Γ(1/θ)θ 1/θ ( ∑ n ihj=1 [Λ ihj(Y ihj , X ihj ) − Λ ihj (L ihj , X ihj )] + 1/θ) m i+1/θoù m i = ∑ K ∑ nihh=1 j=1 I{δ ihj = 1}, est le nombre d’événements dans le groupe i.Il est plus facile de travailler sur le logarithme de la vraisemblance, qui prend la formesuivante :{G∑ ∑ K∑n ihln(V (Y, X)) =δ ihj {β ′ X ihj + ln(λ 0h (Y ihj ))} (2.13)i=1 h=1 j=1[−(1/θ + m i ) ln 1 + θ]K∑ ∑n ih(Λ 0h (Y ihj ) − Λ 0h (L ihj )) exp(β ′ X ihj )h=1 j=1+m i ln θ + ln [Γ(1/θ + m i )] − ln Γ(1/θ)}Cette expression a été proposée par Nielsen et al [70] qui utilisaient une approche parprocessus de comptage puis par Klein et al [53]. Nous avons proposé une simplification dela dernière ligne de cette expression, cette nouvelle formulation mathématique équivalentene fait plus intervenir de fonctions gamma et la log-vraisemblance devient égale à :{G∑ ∑ K∑n ihln(V (Y, X)) =δ ihj {β ′ X ihj + ln(λ 0h (Y ihj ))} (2.14)i=1 h=1 j=1[−(1/θ + m i ) ln 1 + θ]K∑ ∑n ih(Λ 0h (Y ihj ) − Λ 0h (L ihj )) exp(β ′ X ihj )h=1 j=1}∑m i+I{m i ≠ 0} [ln(1 + θ(m i − k))]k=1A partir de cette vraisemblance nous sommes en présence de trois paramètres d’intérêtinconnus :– la variance des effets aléatoires θ,– les coefficients de régression β traduisant l’effet des variables explicatives,– et la fonction de risque de base (et la fonction de risque cumulée de base) en chaquetemps de survie ou de censure.Plusieurs approches ont été proposées pour estimer ces paramètres. Elles vont être exposéesdans les paragraphes suivants.