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gauche.Cette approche utilise la fonction de vraisemblance que nous aurions si les variablesde fragilité avaient été observées ; cette expression se déduit de l’expression (2.12).avec,L F ull = L 1 (θ) + L 2 (β, Λ 0 )L 1 (θ) = −G [(1/θ) ln θ + ln Γ(1/θ)] +G∑[1/θ + m i − 1] ln(z i ) − z i /θ (2.15)i=1L 2 (β, Λ 0 ) =G∑ ∑n iδ ij [β ′ X ij + ln λ 0 (y ij )] − z i Λ 0 (y ij ) exp(β ′ X ij ) (2.16)i=1 j=1– Etape 0 :Des valeurs initiales sont attribuées à β, θ et λ 0k pour k = 1, ..., M (M étant lenombre de décès dans l’échantillon).– Etape 1 : “E-step”On peut montrer que sachant les données et les estimateurs courants des paramètres,les effets alétoires z i sont des variables aléatoires indépendantes qui suivent une loigamma de paramètres A i et C i , avec, A i = [1/θ+m i ] et C i = [1/θ+ ∑ Gi=1 Λ 0(y ij ) exp(β ′ X ij )].On a donc, E[Z i |données] = A i /C i et E[ln Z i |données] = [ψ(A i ) − ln C i ], avec ψreprésentant la fonction digamma. Ces valeurs moyennes sont calculées et vont remplacerz i et ln z i dans les expressions (2.15) et (2.16).– Etape 2 : “M-step”– Mettre à jour l’estimation de β, θ et de λ k0 pour (k = 1, ..., D) en utilisant lalog-vraisemblance partielle suivante :⎧⎡⎤⎫D∑ ⎨L 3 (β) =⎩ S (k) − m (k) ln ⎣ ∑⎬ẑ l exp(β ′ X l ) ⎦⎭k=1l∈R(t (k) )pour cela, t (k) sont les temps de décès ordonnés, avec k = 1, ..., D et D le nombrede décès,m (k) le nombre de décès au temps t (k) , R(t (k) ) est l’ensemble des indices des sujetsà risque au temps t (k) ,