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même pour le modèle à fragilité gaussienne.La méthode d’estimation comporte des similitudes avec l’algorithme EM. Elle est baséesur une modification de la vraisemblance partielle de Cox, c’est à dire sur une “profilelikelihood” dans laquelle on remplace Λ 0 (t) par son estimateur de Breslow.Le modèle considéré est celui à risques proportionnels avec des variables de fragilité,la fonction de risque pour le sujet j du groupe i étant représentée par :λ ij (t|z i ) = λ 0 (t) exp(β ′ X ij + z ′ i W j )où β ′ = (β 1 , ..., β p ) est le vecteur des p effets fixes, et z ′ = (z 1 , ..., z G ) est le vecteur des Geffets aléatoires, le vecteur X ij = (X ij1 , ..., X ijp ) ′ va contenir des variables explicatives mesuréeset W j = (W 1j , ..., W Gj ) sera un vecteur (du schéma d’étude) qui va décrire commentles effets aléatoires s’appliquent à chaque individu, W ij sera égal à 1 si le sujet j appartientau groupe i, 0 sinon. Dans ce modèle, on suppose que Z suit une distribution p(z, D),de moyenne 0 et de matrice de covariance D = D(θ), avec θ un vecteur de paramètresinconnus. Une autre notation du modèle qui se rapproche plus des modèles à fragilitédécrits dans les chapitres précédents est de définir Z i = exp(z ′ W i ) comme la variable defragilité pour chaque unité, et la contrainte imposée ne sera plus E(Z) = 0 mais E(Z) = 1.La vraisemblance prend la forme d’une vraisemblance partielle pénalisée, représentéepar une différence entre deux termes :P P L = P L(β, z; t) − f(z; θ) (2.17)Ici, P L est la vraisemblance partielle de Cox usuelle et f est un terme de pénalisation quiprend des valeurs élevées pour des valeurs extrêmes de la variable z et évite des différencesimportantes entre les fragilités des différents groupes. La valeur du terme de pénalisationva dépendre de la distribution des variables de fragilité. Les estimateurs ˆβ(θ) et ẑ(θ) sontdéfinis comme les estimateurs de la vraisemblance pénalisée (2.17).Cette procédure inclut des équations d’estimation simples, mais elle résulte en unesous-estimation des variances des paramètres des effets fixes ( ˆβ) car elle ne tient pascompte de la variabilité θ des effets aléatoires (θ étant un paramètre fixé). Ces méthodessont encore récentes et méritent d’être développés.