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Estimation dans le modèle à fragilité corréléeLe modèle à fragilité corrélée (paragraphe(2.3.3)) résulte d’une expression de la vraisemblanceplus compliquée que celle utilisée dans le modèle à fragilité partagée [74].Rappelons la forme du modèle à fragilité corrélée :avec, Z (j)iλ ij (t|Z (j)i ) = Z (j)i λ 0 (t) exp(β ′ X ij ) (2.18)= Z i0 +Z ij et Z ′ = (Z i0 , Z i1 , ..., Z ini ) sont des variables aléatoires indépendanteset non observables distribuées selon une loi gamma de paramètres respectifs (c, θ), (c ∗ , θ),. . . , (c ∗ , θ).On supposera 1/θ = c + c ∗ , ainsi l’espérance des fragilités sera égale à 1 (soit E(Z (j)i ) = 1)et la variance des Z (j)isera égale à θ. Pour simplifier les notations, nous ne considèreronspar la suite que des temps de survie éventuellement censurés à droite (mais pas tronquésà gauche) et un modèle non stratifié.En supposant que la censure est indépendante et non informative pour Z, la vraisemblancesur les données non observées prend la forme :V (Y, X|Z) = (2.19){G∏ ∏ ni}[() ]λ ij (Y ij , X ij |Z (j)i ) δ ijexp −Z (j)i Λ ij (Y ij , X ij ) p(z ij ; c ∗ , θ) p(z i0 ; c, θ)i=1j=1où p(., c, θ) est la densité de probabilité d’une loi gamma de paramètres (c, θ).La difficulté de la vraisemblance réside dans le produit des termes de fragilité. Enutilisant la formule du binome ((x + y) n = ∑ ni=0 Ci nx n−i y i ) on obtient la relation :∏n ij=1De plus on utilise le fait que :(z i0 + z ij ) δ ij=∑δ i1k 1 =0...δ ini∑∏n ik ni =0 j=1z k ji0 Zδ ij−k jij∫ ∞0z m ij exp(−z ij Λ ij )p(z ij )∂z ij = Γ(m + c∗ )Γ(c ∗ )1θ c∗ (Λ ij + 1/θ) m+c∗Si on note m i le nombre de décès dans le groupe i, la vraisemblance marginale s’obtientpar intégration de la vraisemblance conditionnelle précédente :V (Y, X) = (2.20){G∏ ∏ ni[λij (Y ij , X ij ) ] [∏n i ( ) ] c ∗ δ 1 ∑m i[] }ijC (m i) Γ(c + j) 1jθ(1/θ + Λ ij )Γ(c) θ c (Λ i. + 1/θ) c+ji=1j=1j=1j=1